2.7.3 Plano que contiene a dos rectas paralelas
Construcción geométrica del plano común a dos rectas paralelas distintas a partir de su vector director y el vector que une dos de sus puntos.
1. Determinación de Dos Rectas Paralelas Distintas
Dadas dos rectas paralelas distintas $r(A_r, \vec{d}_r)$ y $s(A_s, \vec{d}_s)$ con $\vec{d}_r \parallel \vec{d}_s$, el plano común $\pi$ toma:
- Punto base: $A_r$ (o $A_s$).
- Primer vector director: $\vec{d}_r$.
- Segundo vector director: $\vec{A_r A_s} = A_s - A_r$ (vector transversal).
Dadas las rectas paralelas $r: \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{-1}$ y $s: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}$:
1) Vector director común: $\vec{d} = (2, 1, -1)$. Puntos $A_r(0, 1, -2)$ y $A_s(1, 0, 0)$.
2) Segundo vector director: $\vec{A_r A_s} = (1 - 0, \; 0 - 1, \; 0 - (-2)) = (1, -1, 2)$.
2. Ejemplos Prácticos Resueltos
Enunciado: Halla el plano que contiene a $r: \frac{x}{1}=\frac{y - 1}{2}=\frac{z}{-1}$ y $s: \frac{x - 2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z - 3}{-1}$.
$A_r(0, 1, 0), \; A_s(2, 0, 3) \implies \vec{A_r A_s} = (2, -1, 3)$
$$\begin{vmatrix} x & y - 1 & z \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 5x - 5(y - 1) - 5z = 0 \implies x - y - z + 1 = 0$$
Enunciado: Halla el plano de $r(A(1, 2, 3), \vec{i})$ y $s(B(0, 0, 1), \vec{i})$.
$$\vec{BA}=(1, 2, 2), \quad \vec{d}=(1, 0, 0) \implies \begin{vmatrix} x & y & z - 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0 \implies y - z + 1 = 0$$
Enunciado: La distancia entre ambas rectas coincide con la distancia de $A_s$ a la recta $r$.
$$d(r, s) = \frac{|\vec{A_r A_s} \times \vec{d}_r|}{|\vec{d}_r|}$$