📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.7.2 Plano que contiene a dos rectas que se cortan

Determinación del plano común a dos rectas secantes a partir de sus vectores directores y su punto de intersección.

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1. Determinación de Dos Rectas Secantes

Dos rectas $r$ y $s$ que se cortan en un punto $P$ son coplanarias. El plano común $\pi$ que las contiene tiene como:

Punto base: El punto de intersección $P$ (o cualquier punto $A_r \in r$ o $A_s \in s$).
Vectores directores: $\vec{d}_r$ y $\vec{d}_s$.

Ecuación General

\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ d_{r1} & d_{r2} & d_{r3} \\ d_{s1} & d_{s2} & d_{s3} \end{vmatrix} = 0

📌 Ejemplo Concreto de Plano por Rectas Secantes:

Sean las rectas secantes $r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{-1}$ y $s: \frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{2}$, que se cortan en $P(1, 0, -1)$:

Tomando $P$ como punto base y los directores $\vec{d}_r = (1, 2, -1)$, $\vec{d}_s = (-1, 1, 2)$:

\begin{vmatrix} x - 1 & y & z + 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 5(x - 1) - 1(y) + 3(z + 1) = 0 \implies 5x - y + 3z - 2 = 0

2. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Rectas Secantes en el Origen

Enunciado: Halla el plano que contiene a $r: \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ y $s: \frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}$.

Paso 1: Determinante

$$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -3x + 6y - 3z = 0 \implies x - 2y + z = 0$$

Ejemplo 2: Punto Común Explicito

Enunciado: Plano para $r(A(1, 1, 1), \vec{d}_r=(1, 0, 1))$ y $s(A(1, 1, 1), \vec{d}_s=(0, 1, 2))$.

Paso 1: Determinante

$$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -1(x - 1) - 2(y - 1) + 1(z - 1) = 0 \implies x + 2y - z - 2 = 0$$

Ejemplo 3: Inexistencia de Plano (Rectas que se Cruzan)

Enunciado: Justifica por qué no existe plano que contenga a dos rectas que se cruzan.

Paso 1: Rango de vectores

Al cruzarse, $\text{rg}(\vec{d}_r, \vec{d}_s, \vec{A_r A_s}) = 3$. No son coplanarias.

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