📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.7.1 Plano que contiene un punto y una recta

Construcción geométrica del plano que pasa por un punto exterior P y contiene a una recta r dada en R3.

1. Construcción Geométrica del Plano

Sea una recta $r(A_r, \vec{d}_r)$ y un punto exterior $P \notin r$. El plano $\pi$ que los contiene queda unívocamente determinado tomando:

Punto base: $P$ (o $A_r$).
Primer vector director: $\vec{d}_r$ (vector de la recta).
Segundo vector director: $\vec{A_r P} = P - A_r$ (vector que une la recta con el punto).

Ecuación General

\begin{vmatrix} x - x_P & y - y_P & z - z_P \\ d_{1} & d_{2} & d_{3} \\ x_P - x_{A} & y_P - y_{A} & z_P - z_{A} \end{vmatrix} = 0

📌 Ejemplo Concreto de Plano por Punto y Recta:

Hallemos el plano que contiene al punto $P(3, -1, 2)$ y a la recta $r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{3}$:

1) Punto y vector de la recta: $A_r(1, -2, 0)$, $\vec{d}_r = (2, 1, 3)$.

2) Vector entre el punto de la recta y $P$: $\vec{A_r P} = (3 - 1, \; -1 - (-2), \; 2 - 0) = (2, 1, 2)$.

\begin{vmatrix} x - 3 & y + 1 & z - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -(x - 3) + 2(y + 1) + 0(z - 2) = 0

-x + 2y + 5 = 0 \iff x - 2y - 5 = 0

Ejemplo 1: Recta Continua y Punto Exterior

Enunciado: Halla el plano que contiene a $P(1, 0, 3)$ y a la recta $r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-1}$.

Paso 1: Elementos directores

$A_r(1, 0, -1), \; \vec{d}_r=(2, 1, -1) \implies \vec{A_r P} = (0, 0, 4)$

$$\begin{vmatrix} x - 1 & y & z - 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 4(x - 1) - 8y = 0 \implies x - 2y - 1 = 0$$

Ejemplo 2: Recta en Paramétricas

Enunciado: Plano por $P(2, 2, 2)$ y $r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$.

Paso 1: Determinante

$A_r(0, 1, 0), \; \vec{d}_r=(1, -1, 2) \implies \vec{A_r P}=(2, 1, 2)$

$$\begin{vmatrix} x - 2 & y - 2 & z - 2 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -4(x - 2) + 2(y - 2) + 3(z - 2) = 0 \implies 4x - 2y - 3z = 0$$

Ejemplo 3: Pertenencia Previa

Enunciado: ¿Determinan un plano único $P(1, 2, 3)$ y $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{1}$?

Paso 1: Comprobación

Como $P \in r$, existen infinitos planos que los contienen (el haz de planos de eje $r$).