📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.6.2 Ecuaciones de la recta (ecuaciones implícitas)

Conversión de ecuaciones implícitas o generales de la recta a forma paramétrica y continua mediante resolución del sistema o producto vectorial.

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1. Recta como Intersección de Dos Planos Secantes

En $\mathbb{R}^3$, una recta puede venir dada por sus ecuaciones implícitas (sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas y rango 2):

Ecuaciones Implícitas

r: \begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \end{cases}

📌 Ejemplo Concreto de Ecuaciones Implícitas:

Consideremos la recta expresada como intersección de los planos secantes:

r: \begin{cases} 2x - y + z - 3 = 0 \\ x + y - 2z + 1 = 0 \end{cases}

Los planos no son paralelos ya que sus coeficientes no son proporcionales: $\frac{2}{1} \neq \frac{-1}{1}$. La matriz del sistema tiene rango 2, definiendo una recta única.

2. Métodos de Conversión a Forma Paramétrica

Método A: Producto Vectorial de Vectores Normales

Como la recta está contenida en ambos planos, su vector director $\vec{d}$ es ortogonal a ambos vectores normales $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$:

\vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \end{vmatrix}

Para hallar un punto $P \in r$, se da un valor numérico a una variable (ej. $z=0$) y se resuelve el sistema $2 \times 2$ resultante.

Método B: Resolución Directa (Sistema Compatible Indeterminado)

Haciendo una incógnita igual al parámetro $\lambda$ y despejando las otras dos.

📌 Ejemplo Concreto de Obtención de Vector Director y Punto:

1) Vector director: mediante el producto vectorial de los vectores normales $\vec{n}_1=(2, -1, 1)$ y $\vec{n}_2=(1, 1, -2)$:

\vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (1, \, 5, \, 3)

2) Punto base: fijando $z = 0$, resolvemos $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = -1 \end{cases} \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}, \; y = -\frac{5}{3}$. Punto $P\left(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, 0\right)$.

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Conversión por Resolución Directa

Enunciado: Pasa a paramétricas la recta $r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - y + z = 5 \end{cases}$.

Paso 1: Suma de ecuaciones

$$3x = 6 \implies x = 2$$

$$2 + y - z = 1 \implies y = -1 + z$$

Paso 2: Paramétricas

$$\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \implies P(2, -1, 0), \; \vec{d}=(0, 1, 1)$$

Ejemplo 2: Vector Director por Producto Vectorial

Enunciado: Halla el vector director de $r: \begin{cases} 2x - y + 3z - 4 = 0 \\ x + 2y - z + 1 = 0 \end{cases}$.

Paso 1: Producto $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$

$$\vec{d} = (2, -1, 3) \times (1, 2, -1) = (-5, 5, 5) \sim (-1, 1, 1)$$

Ejemplo 3: Extracción de un Punto Específico

Enunciado: Halla el punto de corte con el plano $z=0$ de la recta del Ejemplo 2.

Paso 1: Hacer $z=0$

$$\begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + 2y = -1 \end{cases} \implies 5x = 7 \implies x = \frac{7}{5}, \; y = -\frac{6}{5} \implies P\left(\frac{7}{5}, -\frac{6}{5}, 0\right)$$

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