📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.6.1 Ecuaciones de la recta (punto y vector director o dos puntos)

Ecuación vectorial, paramétricas, continua e implícitas de la recta en R3 a partir de un punto y su vector director o dos puntos.

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1. Formas de la Ecuación de la Recta en $\mathbb{R}^3$

Una recta $r$ queda determinada por un punto base $A(x_0, y_0, z_0)$ y un vector director $\vec{d}=(d_1, d_2, d_3) \neq \vec{0}$:

1. Ecuación Vectorial

(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + \lambda(d_1, d_2, d_3) \quad (\lambda \in \mathbb{R})

2. Ecuaciones Paramétricas

\begin{cases} x = x_0 + \lambda d_1 \\ y = y_0 + \lambda d_2 \\ z = z_0 + \lambda d_3 \end{cases}

3. Ecuación Continua

\frac{x - x_0}{d_1} = \frac{y - y_0}{d_2} = \frac{z - z_0}{d_3}

📌 Ejemplo Concreto de Ecuaciones de la Recta:

Dados los puntos $A(3, 0, -2)$ y $B(1, 4, 2)$, obtenemos el vector director restando $B - A$:

\vec{d} = B - A = (1 - 3, \; 4 - 0, \; 2 - (-2)) = (-2, \, 4, \, 4) \sim (-1, \, 2, \, 2)

Tomando el punto $A$ y el vector simplificado $\vec{d} = (-1, 2, 2)$:

\text{Paramétricas: } \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}, \quad \text{Continua: } \frac{x - 3}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{2}

2. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Todas las Ecuaciones de la Recta

Enunciado: Halla las ecuaciones de la recta que pasa por $A(1, 2, -1)$ con $\vec{d}=(3, 4, 2)$.

Paso 1: Paramétricas y continua

$$\text{Paramétricas: } \begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = 2 + 4\lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}, \quad \text{Continua: } \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z + 1}{2}$$

Ejemplo 2: Recta que Pasa por Dos Puntos

Enunciado: Halla la ecuación continua de la recta por $A(2, 0, 1)$ y $B(4, 2, 5)$.

Paso 1: Vector director simplificado

$$\vec{AB} = (2, 2, 4) \sim (1, 1, 2) \implies \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{2}$$

Ejemplo 3: Componentes Nulas en el Vector Director

Enunciado: Recta por $P(1, 2, 3)$ paralela al eje $OZ$.

Paso 1: Paramétricas

$$\vec{d} = (0, 0, 1) \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$

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