2.5.4 Ecuaciones del plano (un punto y un vector normal)
Determinación del plano mediante un punto y un vector normal o perpendicular al plano, significado geométrico de los coeficientes A, B y C.
1. Determinación mediante Vector Normal
Un plano $\pi$ queda perfectamente definido por un punto $A(x_0, y_0, z_0)$ y un vector normal (perpendicular al plano) $\vec{n}=(A, B, C) \neq \vec{0}$:
Desarrollando se obtiene la ecuación general o implícita:
Hallemos el plano perpendicular al vector $\vec{n} = (3, -4, 1)$ que pasa por el punto $A(1, 2, 5)$:
Desarrollamos los productos y agrupamos el término independiente:
Como $D=0$, concluimos además que este plano pasa exactamente por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$.
2. Ejemplos Prácticos Resueltos
Enunciado: Halla el plano que pasa por $A(2, -1, 3)$ con vector normal $\vec{n}=(5, -2, 4)$.
$$5(x - 2) - 2(y + 1) + 4(z - 3) = 0 \implies 5x - 2y + 4z - 24 = 0$$
Enunciado: Halla el plano paralelo a $\pi: 2x - 3y + z + 7 = 0$ que pasa por $P(1, 4, 2)$.
$$2(x - 1) - 3(y - 4) + 1(z - 2) = 0 \implies 2x - 3y + z + 8 = 0$$
Enunciado: Halla el plano mediador del segmento de extremos $A(1, 2, 3)$ y $B(3, 4, 1)$.
$$M = (2, 3, 2), \quad \vec{n} = \vec{AB} = (2, 2, -2) \sim (1, 1, -1)$$
$$1(x - 2) + 1(y - 3) - 1(z - 2) = 0 \implies x + y - z - 3 = 0$$