2.5.3 Ecuaciones del plano (dos puntos y un vector)
Determinación del plano mediante dos puntos y un vector director no paralelo a la recta que los une.
1. Construcción del Plano mediante Dos Puntos y un Vector
Dados dos puntos $A, B \in \mathbb{R}^3$ y un vector libre $\vec{u}$, el plano queda determinado tomando como vectores directores $\vec{AB}$ y $\vec{u}$, con la condición de no paralelismo $\vec{AB} \not\parallel \vec{u}$:
Hallemos el plano que pasa por $A(2, -1, 0)$ y $B(3, 1, 2)$ y tiene como vector director $\vec{u} = (0, 2, -1)$:
1) Calculamos el vector $\vec{AB} = B - A = (1, 2, 2)$.
2) Comprobamos que no son paralelos: $(1, 2, 2) \not\parallel (0, 2, -1)$.
2. Ejemplos Prácticos Resueltos
Enunciado: Halla el plano que pasa por $A(1, 0, 1)$, $B(2, 3, 0)$ y es paralelo a $\vec{u}=(0, 1, 2)$.
$$\vec{AB} = (1, 3, -1)$$
$$\begin{vmatrix} x - 1 & y & z - 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 7(x - 1) - 2(y) + 1(z - 1) = 0 \implies 7x - 2y + z - 8 = 0$$
Enunciado: Plano que contiene a $A(0, 1, 2)$ y $B(2, 2, 3)$ y es paralelo al eje $OX$.
$$\vec{v}_{OX} = (1, 0, 0), \quad \vec{AB}=(2, 1, 1)$$
$$\begin{vmatrix} x & y - 1 & z - 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1(y - 1 - (z - 2)) = y - z + 1 = 0$$
Enunciado: ¿Determinan un plano único $A(1, 2, 3)$, $B(3, 4, 5)$ y $\vec{u}=(1, 1, 1)$?
$$\vec{AB} = (2, 2, 2) = 2\vec{u} \implies \text{Son paralelos. No determinan un plano único.}$$