📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.5.2 Ecuaciones del plano (tres puntos no alineados)

Determinación del plano a partir de tres puntos no alineados en el espacio mediante vectores directores AB y AC.

1. Determinación mediante Tres Puntos No Alineados

Tres puntos $A, B, C \in \mathbb{R}^3$ determinan un único plano si y solo si no están alineados, es decir, $\vec{AB} \not\parallel \vec{AC}$:

Ecuación por Tres Puntos

\begin{vmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A \end{vmatrix} = 0

📌 Ejemplo Concreto de Plano por Tres Puntos:

Hallemos el plano que contiene a $A(1, 0, 2)$, $B(2, 1, 3)$ y $C(0, 2, 1)$. Formamos los vectores directores:

\vec{AB} = (1, 1, 1), \quad \vec{AC} = (-1, 2, -1)

Planteamos el determinante igualado a cero:

\begin{vmatrix} x - 1 & y & z - 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = -3(x - 1) - 0(y) + 3(z - 2) = 0 \implies -3x + 3z - 3 = 0

$$x - z + 1 = 0$$

Si el plano corta a los ejes coordenados en $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$ y $C(0, 0, c)$ con $a, b, c \neq 0$:

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

📌 Ejemplo Concreto de Ecuación Segmentaria:

Consideremos los puntos de corte con los ejes coordenados $A(3, 0, 0)$, $B(0, -2, 0)$ y $C(0, 0, 4)$:

\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{4} = 1

Multiplicando por el mínimo común múltiplo (12) eliminamos denominadores:

4x - 6y + 3z = 12 \iff 4x - 6y + 3z - 12 = 0

Ejemplo 1: Plano Segmentario

Enunciado: Halla el plano que pasa por $A(2, 0, 0)$, $B(0, 3, 0)$ y $C(0, 0, 6)$.

Paso 1: Aplicar ecuación segmentaria

$$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 \implies 3x + 2y + z - 6 = 0$$

Ejemplo 2: Tres Puntos Genéricos

Enunciado: Halla el plano que pasa por $A(1, 1, 0)$, $B(2, 0, 1)$ y $C(0, 2, 2)$.

Paso 1: Vectores directores

$$\vec{AB}=(1, -1, 1), \quad \vec{AC}=(-1, 1, 2)$$

$$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -3(x - 1) - 3(y - 1) = 0 \implies x + y - 2 = 0$$

Ejemplo 3: Puntos Alineados (Indeterminación)

Enunciado: Analiza si $A(1, 2, 3)$, $B(2, 4, 6)$ y $C(3, 6, 9)$ determinan un plano.

Paso 1: Proporcionalidad

$$\vec{AB}=(1, 2, 3), \; \vec{AC}=(2, 4, 6) \implies \vec{AC} = 2\vec{AB}$$

Están alineados: determinan una recta y un haz infinito de planos.