📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.5.1 Ecuaciones del plano (un punto y dos vectores)

Determinación del plano mediante un punto y dos vectores directores linealmente independientes: ecuación vectorial, paramétricas y general.

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1. Determinación Lineal y Formas de la Ecuación del Plano

En $\mathbb{R}^3$, un plano $\pi$ queda unívocamente determinado por un punto base $A(x_0, y_0, z_0)$ y dos vectores directores linealmente independientes $\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v}=(v_1, v_2, v_3)$:

1. Ecuación Vectorial

\vec{OX} = \vec{OA} + \lambda\vec{u} + \mu\vec{v} \quad (\lambda, \mu \in \mathbb{R})

2. Ecuaciones Paramétricas

\begin{cases} x = x_0 + \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y = y_0 + \lambda u_2 + \mu v_2 \\ z = z_0 + \lambda u_3 + \mu v_3 \end{cases}

3. Ecuación General o Implícita

Imponiendo que los vectores $\vec{AX}$, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean coplanarios:

\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = 0 \implies Ax + By + Cz + D = 0

El vector $\vec{n}=(A, B, C)$ es perpendicular al plano.

📌 Ejemplo Concreto de Ecuaciones del Plano:

Sea el punto $A(2, 1, -1)$ y los directores $\vec{u} = (1, 0, 3)$ y $\vec{v} = (-1, 2, 1)$:

1) Ecuaciones paramétricas:

\begin{cases} x = 2 + \lambda - \mu \\ y = 1 + 2\mu \\ z = -1 + 3\lambda + \mu \end{cases} \quad (\lambda, \mu \in \mathbb{R})

2) Ecuación general: desarrollando el determinante de coplanaridad:

\begin{vmatrix} x - 2 & y - 1 & z + 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -6(x - 2) - 4(y - 1) + 2(z + 1) = 0

-6x - 4y + 2z + 18 = 0 \iff 3x + 2y - z - 9 = 0

2. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Obtención de la Ecuación General

Enunciado: Halla la ecuación general del plano que pasa por $A(1, 0, 2)$ y tiene como directores $\vec{u}=(2, 1, 0)$ y $\vec{v}=(0, 3, 1)$.

Paso 1: Determinante

$$\begin{vmatrix} x - 1 & y & z - 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (x - 1)(1) - y(2) + (z - 2)(6) = 0$$

$$x - 2y + 6z - 13 = 0$$

Ejemplo 2: Eliminación de Parámetros

Enunciado: Obtén la ecuación general del plano $\begin{cases} x = 2 - \lambda + \mu \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = 3\mu \end{cases}$.

Paso 1: Punto y vectores

$A(2, 1, 0)$, $\vec{u}=(-1, 2, 0)$, $\vec{v}=(1, 0, 3)$.

$$\begin{vmatrix} x - 2 & y - 1 & z \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 6(x - 2) + 3(y - 1) - 2z = 6x + 3y - 2z - 15 = 0$$

Ejemplo 3: Pertenencia de un Punto

Enunciado: Comprueba si $P(3, 1, 2)$ pertenece a $\pi: x - 2y + 6z - 13 = 0$.

Paso 1: Sustitución

$$3 - 2(1) + 6(2) - 13 = 3 - 2 + 12 - 13 = 0 \implies P \in \pi$$

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