📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.4.3 Volumen del paralelepípedo y del tetraedro

Cálculo métrico del volumen de paralelepípedos y tetraedros en R3 mediante el valor absoluto del producto mixto.

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1. Volumen del Paralelepípedo

El volumen de un paralelepípedo cuyas aristas concurrentes vienen dadas por los vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ es el valor absoluto de su producto mixto:

Volumen del Paralelepípedo

V_{\text{paralelepípedo}} = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|

📌 Ejemplo Concreto de Volumen de Paralelepípedo:

Hallemos el volumen del paralelepípedo generado por $\vec{u} = (2, 0, 0)$, $\vec{v} = (1, 3, 0)$ y $\vec{w} = (0, 1, 4)$:

[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 2(12 - 0) = 24

V_{\text{paralelepípedo}} = |24| = 24 \text{ u}^3

2. Volumen del Tetraedro

Dados cuatro puntos no coplanarios $A, B, C, D \in \mathbb{R}^3$, el tetraedro que determinan tiene un volumen igual a un sexto del paralelepípedo asociado:

Volumen del Tetraedro

V_{\text{tetraedro}} = \frac{1}{6}|[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|

📌 Ejemplo Concreto de Volumen de Tetraedro:

Dados los vértices $A(0, 0, 0)$, $B(3, 0, 0)$, $C(0, 4, 0)$ y $D(0, 0, 5)$, los vectores que concurren en el origen son:

\vec{AB} = (3, 0, 0), \quad \vec{AC} = (0, 4, 0), \quad \vec{AD} = (0, 0, 5)

El producto mixto es el determinante de una matriz diagonal: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$. Por tanto:

V_{\text{tetraedro}} = \frac{1}{6} |60| = 10 \text{ u}^3

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Volumen de Paralelepípedo

Enunciado: Halla el volumen del paralelepípedo definido por $\vec{u}=(1, 0, 2)$, $\vec{v}=(0, 3, 1)$ y $\vec{w}=(2, 1, 0)$.

Paso 1: Producto mixto

$$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -13$$

Paso 2: Valor absoluto

$$V = |-13| = 13 \; \text{u}^3$$

Ejemplo 2: Volumen de Tetraedro por 4 Vértices

Enunciado: Vértices $A(1, 1, 1)$, $B(2, 0, 0)$, $C(0, 2, 0)$ y $D(0, 0, 3)$.

Paso 1: Vectores y producto mixto

$$\vec{AB}=(1, -1, -1), \; \vec{AC}=(-1, 1, -1), \; \vec{AD}=(-1, -1, 2) \implies [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = -4$$

Paso 2: División entre 6

$$V = \frac{1}{6}|-4| = \frac{2}{3} \; \text{u}^3$$

Ejemplo 3: Altura de un Tetraedro

Enunciado: Halla la altura del tetraedro trazada desde el vértice $D$ sobre la base $ABC$.

Paso 1: Fórmula de la altura

$$h = \frac{|[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|}{|\vec{AB} \times \vec{AC}|}$$

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