📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.4.2 Propiedades del producto mixto

Permutación cíclica, cambio de signo por trasposición de dos vectores, linealidad y criterio algebraico de coplanaridad.

1. Propiedades Fundamentales del Producto Mixto

Heredadas directamente de las propiedades de los determinantes de orden 3:

Permutación cíclica (Invarianza): $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = [\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = [\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}]$
Intercambio de dos vectores (Cambio de signo): $[\vec{u}, \vec{w}, \vec{v}] = -[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$
Intercambio de operadores: $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$
Linealidad: $[\alpha \vec{u} + \beta \vec{u}', \; \vec{v}, \; \vec{w}] = \alpha [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] + \beta [\vec{u}', \vec{v}, \vec{w}]$

Teorema de Coplanaridad

[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0 \iff \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \text{ son coplanarios (linealmente dependientes)}

📌 Ejemplo Concreto de Permutación Cíclica y Coplanaridad:

Sean $\vec{u} = (1, 0, 1)$, $\vec{v} = (2, 1, 0)$ y $\vec{w} = (3, 1, 1)$. Observemos que $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$:

[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 0 + 1(2 - 3) = 1 - 1 = 0

Al ser nulo el producto mixto, se demuestra rigurosamente que los tres vectores son coplanarios (linealmente dependientes).

Ejemplo 1: Aplicación de Permutaciones

Enunciado: Si $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$, determina el valor de $[2\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}]$.

Paso 1: Extraer escalar y permutar

$$[2\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}] = 2 [\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}] = -2 [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = -2(5) = -10$$

Ejemplo 2: Puntos Coplanarios en el Espacio

Enunciado: Demuestra si $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$, $C(0, 0, 1)$ y $D(1, 1, -1)$ son coplanarios.

Paso 1: Vectores respecto a $A$

$$\vec{AB}=(-1, 1, 0), \; \vec{AC}=(-1, 0, 1), \; \vec{AD}=(0, 1, -1)$$

$$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -1(-1) - 1(1) = 1 - 1 = 0 \implies \text{Son coplanarios}$$

Ejemplo 3: Orientación de una Terna

Enunciado: Clasifica la orientación de la base $\mathcal{B}=\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ si su producto mixto es $-4$.

Paso 1: Signo del determinante

Como $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] < 0$, la base tiene orientación negativa (levógira o a izquierdas).