📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.4.1 Producto mixto de tres vectores

Definición del producto mixto de tres vectores en R3, cálculo algebraico mediante el determinante de sus componentes y significado geométrico.

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1. Definición y Notación de Producto Mixto

El producto mixto de tres vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3$ es una operación combinada que asocia a dicha terna un número real (escalar):

Definición de Producto Mixto

[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})

📌 Ejemplo Concreto de Definición de Producto Mixto:

Sean $\vec{u} = (2, 0, 1)$, $\vec{v} = (1, 1, 0)$ y $\vec{w} = (0, 2, 3)$.

1) Calculamos el producto vectorial $\vec{v} \times \vec{w} = (3, -3, 2)$.

2) Efectuamos el producto escalar con $\vec{u}$:

[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 2(3) + 0(-3) + 1(2) = 6 + 2 = 8

2. Expresión Analítica mediante Determinante 3 × 3

En cualquier base ortonormal, el producto mixto coincide con el determinante cuyas filas son las componentes de los tres vectores:

[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}

📌 Ejemplo Concreto por Determinante 3 × 3:

Evaluemos la misma terna directamente mediante el determinante de la matriz formada por sus componentes:

[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2(3 - 0) - 0 + 1(2 - 0) = 6 + 2 = 8

Ambos métodos arrojan idéntico resultado ($8$), confirmando la equivalencia analítica.

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Cálculo Directo por Sarrus

Enunciado: Calcula $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ para $\vec{u}=(1, 2, 3)$, $\vec{v}=(0, 1, 2)$ y $\vec{w}=(1, -1, 0)$.

Paso 1: Determinante

$$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 4 + 0 - 3 - (-2) - 0 = 3$$

Ejemplo 2: Vectores de la Base Canónica

Enunciado: Evalúa $[\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}]$.

Paso 1: Matriz identidad

$$[\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}] = |I_3| = 1$$

Ejemplo 3: Vectores Coplanarios

Enunciado: Comprueba si $\vec{u}=(1, 1, 1)$, $\vec{v}=(2, 3, 1)$ y $\vec{w}=(3, 4, 2)$ son coplanarios.

Paso 1: Evaluación

Como $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$, el determinante se anula: $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$. Son coplanarios.

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