📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.3.3 Área del paralelogramo y del triángulo

Cálculo geométrico del área de paralelogramos y triángulos en el espacio mediante el módulo del producto vectorial.

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1. Área del Paralelogramo

Geométricamente, la altura de un paralelogramo de lados $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es $h = |\vec{v}| \sin(\alpha)$. En consecuencia, su área coincide con el módulo del producto vectorial:

Área del Paralelogramo

\text{Área}_{\text{paralelogramo}} = |\vec{u} \times \vec{v}|

📌 Ejemplo Concreto de Área de Paralelogramo:

Hallemos el área del paralelogramo sustentado por $\vec{u} = (3, 1, 0)$ y $\vec{v} = (0, 2, 4)$:

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (4 - 0)\vec{i} - (12 - 0)\vec{j} + (6 - 0)\vec{k} = (4, \, -12, \, 6)

\text{Área} = |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{4^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 144 + 36} = \sqrt{196} = 14 \text{ u}^2

2. Área del Triángulo en el Espacio

Dados tres puntos no alineados $A$, $B$ y $C$ en $\mathbb{R}^3$, el triángulo que determinan es exactamente la mitad del paralelogramo:

Área del Triángulo

\text{Área}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|

📌 Ejemplo Concreto de Área de Triángulo en el Espacio:

Dados los vértices $A(1, 1, 1)$, $B(2, 3, 1)$ y $C(1, 2, 3)$, calculamos los vectores de los lados contiguos:

\vec{AB} = (1, 2, 0), \quad \vec{AC} = (0, 1, 2)

Calculamos el producto vectorial y dividimos su módulo por dos:

\vec{AB} \times \vec{AC} = (4, \, -2, \, 1) \implies |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}

\text{Área}_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{21}}{2} \approx 2.291 \text{ u}^2

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Área de Paralelogramo

Enunciado: Halla el área del paralelogramo generado por $\vec{u}=(1, 2, 0)$ y $\vec{v}=(0, 3, 1)$.

Paso 1: Producto vectorial

$$\vec{u} \times \vec{v} = (2, -1, 3)$$

Paso 2: Módulo

$$\text{Área} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \; \text{u}^2$$

Ejemplo 2: Área de Triángulo por Tres Vértices

Enunciado: Halla el área del triángulo de vértices $A(1, 0, 1)$, $B(2, 1, 2)$ y $C(3, 0, 4)$.

Paso 1: Vectores y producto vectorial

$$\vec{AB}=(1, 1, 1), \; \vec{AC}=(2, 0, 3) \implies \vec{AB} \times \vec{AC} = (3, -1, -2)$$

Paso 2: Semimódulo

$$\text{Área} = \frac{1}{2}\sqrt{9 + 1 + 4} = \frac{\sqrt{14}}{2} \; \text{u}^2$$

Ejemplo 3: Altura de un Triángulo en el Espacio

Enunciado: Calcula la altura sobre el lado $AB$ del triángulo anterior.

Paso 1: Despejar altura

$$h = \frac{2\text{Área}}{|\vec{AB}|} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{14}{3}} \; \text{u}$$

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