Bloque 2 • Geometría en el Espacio
Ejercicios resueltos: Punto simétrico de un punto respecto de un plano
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto métrico clave.
Ejercicio 1
Simétrico de un punto respecto a un plano general
Halla el punto simétrico de \( P(2, -1, 3) \) respecto al plano \( \pi: x + y + z - 1 = 0 \).
Resolución:
Recta normal por \( P \): \( x = 2+\lambda, y = -1+\lambda, z = 3+\lambda \).
Intersección con \( \pi \):
\[ (2+\lambda) + (-1+\lambda) + (3+\lambda) - 1 = 0 \implies 3\lambda + 4 = 0 \implies \lambda = -\frac{4}{3} \]Proyección: \( M = (2 - 4/3, -1 - 4/3, 3 - 4/3) = (2/3, -7/3, 5/3) \).
Simétrico: \( P' = 2M - P = (4/3 - 2, -14/3 - (-1), 10/3 - 3) = (-2/3, -11/3, 1/3) \).