Bloque 2 • Geometría en el Espacio
Ejercicios resueltos: Haz de planos paralelos a un plano dado
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto métrico clave.
Ejercicio 1
Plano de un haz paralelo tangente a una esfera o a distancia fija
Halla los planos del haz paralelo a \( \pi: 3x - 4z + 1 = 0 \) que distan \( 2 \) unidades del punto \( A(1, 2, 3) \).
Resolución:
Forma del haz: \( 3x - 4z + k = 0 \).
\( d(A, \pi_k) = \frac{|3(1) - 4(3) + k|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2}} = \frac{|k - 9|}{5} = 2 \implies |k - 9| = 10 \).
\( k - 9 = 10 \implies k = 19 \) o \( k - 9 = -10 \implies k = -1 \).
Plano 1: \( 3x - 4z + 19 = 0 \). Plano 2: \( 3x - 4z - 1 = 0 \).