Bloque 2 • Geometría en el Espacio
Ejercicios resueltos: Haz de planos que contienen a una recta
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto métrico clave.
Ejercicio 1
Plano que contiene a una recta y es perpendicular a un plano por haz
Halla la ecuación del plano que contiene a \( r: \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ 2x + z - 2 = 0 \end{cases} \) y es perpendicular a \( \pi: x + 2y - z + 3 = 0 \).
Resolución:
Ecuación del haz: \( (x - y + 1) + \lambda(2x + z - 2) = 0 \implies (1+2\lambda)x - y + \lambda z + (1 - 2\lambda) = 0 \).
Vector normal: \( \vec{n}_\lambda = (1+2\lambda, -1, \lambda) \). Condición \( \vec{n}_\lambda \cdot \vec{n}_\pi = 0 \) con \( \vec{n}_\pi = (1, 2, -1) \):
\[ 1(1+2\lambda) + 2(-1) - 1(\lambda) = 0 \implies 1 + 2\lambda - 2 - \lambda = 0 \implies \lambda - 1 = 0 \implies \lambda = 1 \]Sustituyendo \( \lambda = 1 \): \( (x - y + 1) + (2x + z - 2) = 0 \implies 3x - y + z - 1 = 0 \).