Ejercicio 1: Recta tangente a una función integral
Hallar la recta tangente a la gráfica de \( F(x) = \int_0^x \frac{t}{1+t^2} \, dt \) en el punto \( x = 1 \).
Paso 1: Punto de tangencia \( (1, F(1)) \):
\[ F(1) = \int_0^1 \frac{t}{1+t^2} \, dt = \left[ \frac{1}{2}\ln(1+t^2) \right]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 2 - 0 = \frac{1}{2}\ln 2 \]
Paso 2: Pendiente \( m = F'(1) \):
Por el Teorema Fundamental del Cálculo: \( F'(x) = \frac{x}{1+x^2} \implies F'(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \).
Paso 3: Ecuación de la recta tangente:
\[ y - \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln 2 \]
Ejercicio 2: Regla de L'Hôpital combinada con el TFCI
Calcular el límite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin(t^2) \, dt}{x^3} \]
Paso 1: Indeterminación \( \left[\frac{0}{0}\right] \) al evaluar en \( x = 0 \).
Paso 2: Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador (con el TFCI) y denominador:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}\left[\int_0^x \sin(t^2) \, dt\right]}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{3x^2} \]
Paso 3: Por infinitésimos equivalentes \( \sin(u) \sim u \) cuando \( u \to 0 \):
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{3x^2} = \frac{1}{3} \]