Teorema fundamental del cálculo integral

1. Enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo

Sea \( f(x) \) una función continua en el intervalo cerrado \( [a, b] \). Se define la función integral \( F(x) \) como:

F(x) = \int_a^x f(t) \, dt \quad \forall x \in [a, b]

\( F(x) \) es derivable en \( (a, b) \) y su función derivada es precisamente \( f(x) \):

\[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_a^x f(t) \, dt \right] = f(x) \]

Si los límites de integración son funciones derivables \( u(x) \) y \( v(x) \):

G(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt

Aplicando la regla de la cadena combinada con el teorema fundamental:

G'(x) = f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x)

📌 Ejemplo Concreto de Regla de Leibniz:

Calculemos la derivada de la función integral \( F(x) = \int_1^{x^2} \sin(t) \, dt \):

F'(x) = \sin(x^2) \cdot (x^2)' = 2x \sin(x^2)

Hallar la derivada de \( F(x) = \int_1^x \sqrt{t^3+1} \, dt \).

Por aplicación directa del teorema fundamental del cálculo:

\[ F'(x) = \sqrt{x^3 + 1} \]

Hallar la derivada de \( G(x) = \int_0^{x^2} \cos(t) \, dt \).

Límite superior: \( v(x) = x^2 \implies v'(x) = 2x \). Límite inferior constante.

\[ G'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = 2x \cos(x^2) \]

Hallar la derivada de \( H(x) = \int_{2x}^{x^3} e^{-t^2} \, dt \).

Límite superior: \( v(x) = x^3 \implies v'(x) = 3x^2 \). Límite inferior: \( u(x) = 2x \implies u'(x) = 2 \).

\[ H'(x) = e^{-(x^3)^2} \cdot 3x^2 - e^{-(2x)^2} \cdot 2 = 3x^2 e^{-x^6} - 2e^{-4x^2} \]