1. Enunciado del Teorema del Valor Medio Integral
Si \( f(x) \) es una función continua en el intervalo cerrado \( [a, b] \), entonces existe al menos un punto \( c \in (a, b) \) tal que:
Hallemos el valor medio de \( f(x) = 3x^2 \) en el intervalo \([0, 2]\):
El punto \( c \) donde se alcanza el valor medio es: \( f(c) = 3c^2 = 4 \implies c = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155 \in (0, 2) \).
2. Concepto de Valor Medio de una Función
El valor medio (o promedio continuo) de \( f(x) \) en \( [a, b] \) se define como:
Interpretación Geométrica
Existe un rectángulo de base \( b - a \) y altura \( f(c) \) cuya área es exactamente igual al área bajo la curva \( y = f(x) \) en \( [a, b] \).
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Verificación en una parábola
Hallar el valor medio y el punto \( c \) para \( f(x) = x^2 \) en \( [0, 3] \).
\[ \int_0^3 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \frac{27}{3} = 9 \]
\[ \bar{f} = \frac{1}{3 - 0} (9) = 3 \]
Buscamos \( c \in (0, 3) \) con \( f(c) = 3 \implies c^2 = 3 \implies c = \sqrt{3} \approx 1.732 \).
Ejemplo 2: Temperatura media diaria
La temperatura en grados durante 12 horas viene dada por \( T(t) = 10 + 4t - \frac{1}{3}t^2 \) para \( t \in [0, 12] \). Hallar la temperatura media.
\[ \int_0^{12} \left( 10 + 4t - \frac{t^2}{3} \right) dt = \left[ 10t + 2t^2 - \frac{t^3}{9} \right]_0^{12} = 120 + 2(144) - \frac{1728}{9} = 120 + 288 - 192 = 216 \]
\[ \bar{T} = \frac{1}{12}(216) = 18^\circ\text{C} \]
Ejemplo 3: Función trigonométrica
Hallar el valor medio de \( f(x) = \sin x \) en \( [0, \pi] \).
\[ \int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2 \]
\[ \bar{f} = \frac{1}{\pi - 0} (2) = \frac{2}{\pi} \approx 0.637 \]
El punto \( c \) cumple \( \sin c = \frac{2}{\pi} \implies c = \arcsin(2/\pi) \in (0, \pi) \).