1. Área entre una Función y el Eje de Abscisas
Para calcular el área del recinto delimitado por la curva \( y = f(x) \) y el eje \( X \) en un intervalo \( [a, b] \):
- Resolver la ecuación \( f(x) = 0 \) para encontrar los puntos de corte con el eje \( X \) en el interior de \( [a, b] \).
- Dividir el intervalo \( [a, b] \) en subintervalos delimitados por dichos cortes: \( [a, x_1], [x_1, x_2], \dots \).
- Integrar en cada subintervalo y tomar el valor absoluto de cada integral (las regiones por debajo del eje aportan signo negativo en la integral definida): \[ \text{Área} = \left| \int_a^{x_1} f(x) \, dx \right| + \left| \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx \right| + \dots \]
2. Área Comprendida entre Dos Curvas
Dadas dos funciones continuas \( f(x) \) y \( g(x) \) que se cortan en \( x = a \) y \( x = b \):
Hallemos el área encerrada entre \( f(x) = x \) y \( g(x) = x^2 \):
Puntos de corte: \( x = x^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x = 0, \; x = 1 \). En \([0, 1]\), \( x \ge x^2 \):
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Parábola y eje \( X \)
Calcular el área encerrada por \( f(x) = 4 - x^2 \) y el eje \( X \).
Cortes: \( 4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2 \). Como \( f(x) \ge 0 \) en \( [-2, 2] \):
\[ \text{Área} = \int_{-2}^2 (4 - x^2) \, dx = 2\int_0^2 (4 - x^2) \, dx = 2\left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 2\left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2\left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ u}^2 \]
Ejemplo 2: Área entre dos parábolas
Calcular el área del recinto acotado entre \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = 2x - x^2 \).
Cortes: \( x^2 = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x - 1) = 0 \implies x = 0, \; x = 1 \).
En \( (0, 1) \): \( g(x) \ge f(x) \) (\( g \) es techo, \( f \) es suelo):
\[ \text{Área} = \int_0^1 [(2x - x^2) - x^2] \, dx = \int_0^1 (2x - 2x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \text{ u}^2 \]
Ejemplo 3: Dos recintos con cambio de signo
Calcular el área entre \( f(x) = x^3 - x \) y el eje \( X \) en \( [-1, 1] \).
Cortes: \( x(x-1)(x+1) = 0 \implies x = -1, \; 0, \; 1 \).
Por simetría impar: \( \text{Área} = 2 \int_0^1 |x^3 - x| \, dx = 2 \int_0^1 (x - x^3) \, dx = 2\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 2\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = 2\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} \text{ u}^2 \]