Ejercicio 1: Área entre parábola y recta secante
Calcular el área del recinto acotado limitado por la parábola \( y = x^2 - 2x \) y la recta \( y = x \).
Paso 1: Puntos de corte:
\[ x^2 - 2x = x \implies x^2 - 3x = 0 \implies x(x-3) = 0 \implies x_1 = 0, \; x_2 = 3 \]
Paso 2: En \( (0, 3) \), la recta está por encima (techo): \( x > x^2 - 2x \).
Paso 3: Planteamos la integral:
\[ \text{Área} = \int_0^3 [x - (x^2 - 2x)] \, dx = \int_0^3 (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 \]
\[ = \left( \frac{3(9)}{2} - \frac{27}{3} \right) - 0 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ u}^2 \]
Ejercicio 2: Área acotada por hipérbola y recta
Hallar el área de la región comprendida entre la curva \( y = \frac{1}{x} \), el eje \( X \) y las rectas \( x = 1 \) y \( x = e^2 \).
Paso 1: Como \( \frac{1}{x} > 0 \) en \( [1, e^2] \):
\[ \text{Área} = \int_1^{e^2} \frac{1}{x} \, dx = [\ln x]_1^{e^2} = \ln(e^2) - \ln(1) = 2 - 0 = 2 \text{ u}^2 \]