Ejercicio 1: Cálculo de altura media en función lineal
Hallar el valor medio de \( f(x) = 2x + 3 \) en \( [1, 5] \) y el punto \( c \) donde se alcanza.
Paso 1: Calculamos la integral definida:
\[ \int_1^5 (2x + 3) \, dx = [x^2 + 3x]_1^5 = (25 + 15) - (1 + 3) = 40 - 4 = 36 \]
Paso 2: Valor medio:
\[ \bar{f} = \frac{1}{5 - 1} (36) = \frac{36}{4} = 9 \]
Paso 3: Hallamos \( c \):
\[ 2c + 3 = 9 \implies 2c = 6 \implies c = 3 \in (1, 5) \]
Ejercicio 2: Valor medio de función exponencial
Calcular el valor medio de \( f(x) = e^{2x} \) en \( [0, 1] \).
Paso 1: Integral definida:
\[ \int_0^1 e^{2x} \, dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_0^1 = \frac{1}{2}(e^2 - 1) \]
Paso 2: Valor medio (con \( b - a = 1 - 0 = 1 \)):
\[ \bar{f} = \frac{1}{1}\left( \frac{e^2 - 1}{2} \right) = \frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.19 \]