1. Concepto de Integral Definida y Regla de Barrow
La integral definida \( \int_a^b f(x) \, dx \) mide el área neta signada bajo la curva \( y = f(x) \) entre las rectas verticales \( x = a \) y \( x = b \).
Regla de Barrow
Si \( f(x) \) es continua en \( [a, b] \) y \( F(x) \) es una primitiva cualquiera de \( f(x) \) (es decir, \( F'(x) = f(x) \)), entonces:
\[ \int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \]
2. Propiedades Fundamentales
- \( \int_a^a f(x) \, dx = 0 \)
- \( \int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx \)
- Aditividad respecto al intervalo: Para cualquier \( c \in [a, b] \): \[ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx \]
Evaluemos la integral definida \( \int_1^3 (3x^2 - 2x) \, dx \):
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Polinomio definido
Calcular \( \int_1^3 (3x^2 - 2x + 4) \, dx \).
Primitiva: \( F(x) = x^3 - x^2 + 4x \).
\[ [x^3 - x^2 + 4x]_1^3 = (3^3 - 3^2 + 4(3)) - (1^3 - 1^2 + 4(1)) = (27 - 9 + 12) - (1 - 1 + 4) = 30 - 4 = 26 \]
Ejemplo 2: Integral trigonométrica definida
Calcular \( \int_0^{\pi/2} \sin(2x) \, dx \).
Primitiva: \( F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) \).
\[ \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_0^{\pi/2} = -\frac{1}{2}\cos(\pi) - \left(-\frac{1}{2}\cos(0)\right) = -\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
Ejemplo 3: Cambio de límites en sustitución
Calcular \( \int_0^1 x \sqrt{x^2+3} \, dx \).
Cambio: \( t = x^2+3 \implies dt = 2x dx \implies x dx = \frac{dt}{2} \).
Límites: si \( x = 0 \implies t = 3 \); si \( x = 1 \implies t = 4 \).
\[ \int_3^4 \frac{1}{2}t^{1/2} \, dt = \frac{1}{2}\left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_3^4 = \frac{1}{3}[t^{3/2}]_3^4 = \frac{1}{3}(4^{3/2} - 3^{3/2}) = \frac{1}{3}(8 - 3\sqrt{3}) = \frac{8}{3} - \sqrt{3} \]