Ejercicio 1: Integral definida por partes
Calcular el valor de la integral definida: \[ \int_0^1 x e^x \, dx \]
Paso 1: Primitiva por partes: \( u = x \implies du = dx \); \( dv = e^x dx \implies v = e^x \):
\[ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x = (x-1)e^x \]
Paso 2: Aplicamos Barrow en \( [0, 1] \):
\[ [(x-1)e^x]_0^1 = (1-1)e^1 - (0-1)e^0 = 0 - (-1)(1) = 1 \]
Ejercicio 2: Integral de función definida a trozos
Calcular \( \int_{-1}^2 f(x) \, dx \) siendo:
\[ f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x < 1 \\ 3x^2 - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases} \]Paso 1: Separamos la integral por aditividad en \( x = 1 \):
\[ \int_{-1}^2 f(x) \, dx = \int_{-1}^1 2x \, dx + \int_1^2 (3x^2 - 1) \, dx \]
Paso 2: Calculamos cada tramo:
\[ \int_{-1}^1 2x \, dx = [x^2]_{-1}^1 = 1^2 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0 \]
\[ \int_1^2 (3x^2 - 1) \, dx = [x^3 - x]_1^2 = (8 - 2) - (1 - 1) = 6 - 0 = 6 \]
Resultado final: \[ \int_{-1}^2 f(x) \, dx = 0 + 6 = 6 \]