Integración de funciones racionales (grado del numerador mayor o igual que el grado del denominador)

1. División Euclídea Previa Obligatoria

Si \( \operatorname{grad}(P) \ge \operatorname{grad}(Q) \), la función racional es impropia. Antes de aplicar cualquier método, es imprescindible efectuar la división polinómica:

P(x) = Q(x) \cdot C(x) + R(x) \implies \frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}

donde \( C(x) \) es el cociente (un polinomio fácil de integrar) y \( R(x) \) es el resto con \( \operatorname{grad}(R) < \operatorname{grad}(Q) \) (fracción propia tratada con el método de fracciones simples).

📌 Ejemplo Concreto de División Euclídea:

Calculemos \( \int \frac{x^3 + 2}{x - 1} \, dx \):

Dividiendo \( x^3 + 2 \) entre \( x - 1 \) por Ruffini obtenemos cociente \( C(x) = x^2 + x + 1 \) y resto \( R = 3 \):

\int \left(x^2 + x + 1 + \frac{3}{x - 1}\right) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + 3\ln|x - 1| + C

2. Esquema de Integración

\int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx = \int C(x) \, dx + \int \frac{R(x)}{Q(x)} \, dx

3. Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Grados iguales (grado 2)

Calcular \( \int \frac{x^2+3}{x^2-1} \, dx \).

Dividimos: \( x^2 + 3 = 1 \cdot (x^2 - 1) + 4 \implies \frac{x^2+3}{x^2-1} = 1 + \frac{4}{x^2-1} \).

Descomponemos \( \frac{4}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x-1} - \frac{2}{x+1} \).

\[ \int \left( 1 + \frac{2}{x-1} - \frac{2}{x+1} \right) dx = x + 2\ln|x-1| - 2\ln|x+1| + C = x + 2\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C \]

Ejemplo 2: Grado del numerador estrictamente superior

Calcular \( \int \frac{x^3 + 2x^2 - x + 1}{x^2+1} \, dx \).

Dividimos: \( x^3 + 2x^2 - x + 1 = (x+2)(x^2+1) + (-2x - 1) \).

\[ \frac{x^3 + 2x^2 - x + 1}{x^2+1} = x + 2 - \frac{2x+1}{x^2+1} = x + 2 - \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} \]

\[ = \frac{x^2}{2} + 2x - \ln(x^2+1) - \arctan x + C \]

Ejemplo 3: Grado 4 entre grado 2

Calcular \( \int \frac{x^4}{x^2-4} \, dx \).

Dividimos: \( x^4 = (x^2+4)(x^2-4) + 16 \implies \frac{x^4}{x^2-4} = x^2 + 4 + \frac{16}{x^2-4} \).

Descomposición: \( \frac{16}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{x-2} - \frac{4}{x+2} \).

\[ = \frac{x^3}{3} + 4x + 4\ln|x-2| - 4\ln|x+2| + C = \frac{x^3}{3} + 4x + 4\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C \]