Ejercicio 1: Grados iguales con denominador mónico
Calcular: \[ \int \frac{x^2}{x^2 - 3x + 2} \, dx \]
Paso 1: Dividimos: \( x^2 = 1(x^2 - 3x + 2) + (3x - 2) \implies \frac{x^2}{x^2-3x+2} = 1 + \frac{3x-2}{(x-1)(x-2)} \).
Paso 2: Descomponemos el resto:
\[ \frac{3x-2}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} \implies 3x - 2 = A(x-2) + B(x-1) \]
\( x = 1 \implies 1 = -A \implies A = -1 \); \( x = 2 \implies 4 = B \).
Paso 3: Integramos:
\[ \int \left( 1 - \frac{1}{x-1} + \frac{4}{x-2} \right) dx = x - \ln|x-1| + 4\ln|x-2| + C \]
Ejercicio 2: Numerador cúbico y denominador lineal
Calcular: \[ \int \frac{x^3}{x - 1} \, dx \]
Paso 1: Por la identidad notable \( x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) \):
\[ \frac{x^3}{x-1} = \frac{(x^3-1) + 1}{x-1} = x^2 + x + 1 + \frac{1}{x-1} \]
Paso 2: Integramos término a término:
\[ = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + C \]