1. Integración de Fracciones Racionales Propias
Cuando el grado del numerador es estrictamente menor que el del denominador (\( \operatorname{grad}(P) < \operatorname{grad}(Q) \)), se descompone la función en fracciones simples y se integra cada término de forma inmediata:
- Los términos \( \frac{A}{x-a} \) dan lugar a logaritmos neperianos: \( A\ln|x-a| \).
- Los términos \( \frac{B}{(x-a)^k} \) (\( k \ge 2 \)) dan lugar a potencias: \( \frac{B}{(1-k)(x-a)^{k-1}} \).
- Los términos cuadráticos \( \frac{Mx+N}{x^2+px+q} \) se descomponen en un logaritmo (ajustando la derivada del denominador) más una arcotangente (completando cuadrados).
Calculemos \( \int \frac{2x + 3}{(x - 1)^2} \, dx \):
Para \( x = 1 \implies B = 5 \). Comparando términos lineales: \( A = 2 \).
2. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Raíces reales simples
Calcular \( \int \frac{3x+1}{x^2-5x+6} \, dx \).
Denominador: \( (x-2)(x-3) \). Descomposición: \( \frac{3x+1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3} \).
\( 3x + 1 = A(x-3) + B(x-2) \implies x=2 \implies A = -7 \); \( x=3 \implies B = 10 \).
\[ \int \left( \frac{-7}{x-2} + \frac{10}{x-3} \right) dx = -7\ln|x-2| + 10\ln|x-3| + C \]
Ejemplo 2: Raíz real doble
Calcular \( \int \frac{x-1}{(x+2)^2} \, dx \).
Descomposición: \( \frac{x-1}{(x+2)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^2} \implies x - 1 = A(x+2) + B \).
Para \( x = -2 \): \( B = -3 \). Coeficiente de \( x \): \( A = 1 \).
\[ \int \left( \frac{1}{x+2} - \frac{3}{(x+2)^2} \right) dx = \ln|x+2| + \frac{3}{x+2} + C \]
Ejemplo 3: Factor cuadrático irreducible
Calcular \( \int \frac{2x+3}{x^2+4} \, dx \).
Separamos en parte logarítmica y parte arcotangente:
\[ \int \frac{2x}{x^2+4} \, dx + \int \frac{3}{x^2+4} \, dx = \ln(x^2+4) + \frac{3}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C \]