Ejercicio 1: Fracciones con raíces simples simétricas
Calcular: \[ \int \frac{4}{x^2 - 4} \, dx \]
Paso 1: Factorizamos \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \).
Paso 2: Descomposición: \( \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2} \implies 4 = A(x+2) + B(x-2) \).
Para \( x = 2 \): \( 4 = 4A \implies A = 1 \). Para \( x = -2 \): \( 4 = -4B \implies B = -1 \).
Paso 3: Integramos y agrupamos logaritmos:
\[ \int \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right) dx = \ln|x-2| - \ln|x+2| + C = \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C \]
Ejercicio 2: Cuadrático general con ajuste logaritmo-arcotangente
Calcular: \[ \int \frac{x+1}{x^2 + 2x + 2} \, dx \]
Paso 1: La derivada del denominador es \( [x^2+2x+2]' = 2x + 2 = 2(x+1) \).
Paso 2: Multiplicamos y dividimos por 2:
\[ \int \frac{x+1}{x^2+2x+2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{x^2+2x+2} \, dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2) + C \]