1. Objetivo del Método de Fracciones Simples
Dada una función racional propia \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) (donde \( \operatorname{grad}(P) < \operatorname{grad}(Q) \)), el método consiste en descomponer la fracción en una suma de fracciones más sencillas cuyos denominadores sean los factores irreducibles de \( Q(x) \).
Descompongamos \( \frac{5x - 1}{x^2 - 1} \):
Para \( x = 1 \): \( 4 = 2A \implies A = 2 \). Para \( x = -1 \): \( -6 = -2B \implies B = 3 \).
2. Casos de Factorización del Denominador \( Q(x) \)
- Caso 1: Raíces reales simples \( (x-a)(x-b) \dots \): \[ \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \dots \]
- Caso 2: Raíces reales múltiples \( (x-a)^k \): \[ \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k} \]
- Caso 3: Factores cuadráticos irreducibles simples \( x^2 + px + q \) (\( p^2 - 4q < 0 \)): \[ \frac{Mx + N}{x^2 + px + q} \]
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Raíces reales simples
Descomponer \( \frac{5x-1}{x^2-x-2} \).
Factorizamos: \( x^2-x-2 = (x-2)(x+1) \).
\[ \frac{5x-1}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} \implies 5x - 1 = A(x+1) + B(x-2) \]
Para \( x = 2 \): \( 9 = A(3) \implies A = 3 \).
Para \( x = -1 \): \( -6 = B(-3) \implies B = 2 \).
\[ \frac{5x-1}{x^2-x-2} = \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1} \]
Ejemplo 2: Raíz real múltiple
Descomponer \( \frac{3x+1}{(x-1)^2} \).
\[ \frac{3x+1}{(x-1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} \implies 3x + 1 = A(x-1) + B \]
Para \( x = 1 \): \( 4 = B \implies B = 4 \).
Igualando coeficientes en \( x \): \( 3 = A \implies A = 3 \).
\[ \frac{3x+1}{(x-1)^2} = \frac{3}{x-1} + \frac{4}{(x-1)^2} \]
Ejemplo 3: Factor cuadrático irreducible
Descomponer \( \frac{x+2}{x(x^2+1)} \).
\[ \frac{x+2}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2+1} \implies x + 2 = A(x^2+1) + (Bx+C)x \]
Para \( x = 0 \): \( 2 = A(1) \implies A = 2 \).
Términos en \( x^2 \): \( A + B = 0 \implies 2 + B = 0 \implies B = -2 \).
Términos en \( x \): \( C = 1 \).
\[ \frac{x+2}{x(x^2+1)} = \frac{2}{x} + \frac{-2x+1}{x^2+1} \]