1. Fundamento del Método de Sustitución
El método de cambio de variable se fundamenta en la regla de la cadena para simplificar el integrando transformándolo en una integral inmediata en una nueva variable \( t \):
Calculemos \( \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx \) mediante la sustitución \( t = x^2 + 1 \implies dt = 2x \, dx \):
2. Pasos Metodológicos
- Elegir la sustitución adecuada \( t = u(x) \) (habitualmente el radicando, la base exponencial o el argumento interno).
- Diferenciar para hallar \( dt = u'(x) \, dx \) y despejar \( dx \).
- Sustituir todas las apariciones de \( x \) y \( dx \) en la integral original hasta que quede expresada exclusivamente en términos de \( t \).
- Calcular la integral inmediata en \( t \).
- Deshacer el cambio de variable al final sustituyendo \( t \) por su expresión original en \( x \).
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Eliminación de radicales
Calcular \( \int \frac{x}{\sqrt{x+1}} \, dx \).
Cambio: \( t = \sqrt{x+1} \implies t^2 = x + 1 \implies x = t^2 - 1 \implies dx = 2t \, dt \).
\[ \int \frac{t^2 - 1}{t} (2t \, dt) = 2\int (t^2 - 1) \, dt = 2\left( \frac{t^3}{3} - t \right) + C = \frac{2}{3}\sqrt{(x+1)^3} - 2\sqrt{x+1} + C \]
Ejemplo 2: Cambio con exponencial
Calcular \( \int \frac{e^x}{e^{2x}+1} \, dx \).
Cambio: \( t = e^x \implies dt = e^x dx \):
\[ \int \frac{dt}{t^2 + 1} = \arctan t + C = \arctan(e^x) + C \]
Ejemplo 3: Cambio con logaritmo
Calcular \( \int \frac{\ln x}{x(1+\ln^2 x)} \, dx \).
Cambio: \( t = \ln x \implies dt = \frac{1}{x} dx \):
\[ \int \frac{t}{1+t^2} \, dt = \frac{1}{2}\int \frac{2t}{1+t^2} \, dt = \frac{1}{2}\ln(1+t^2) + C = \frac{1}{2}\ln(1+\ln^2 x) + C \]