Ejercicio 1: Cambio con raíz cuadrada en el denominador
Calcular mediante cambio de variable: \[ \int \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \, dx \]
Paso 1: Hacemos \( t = \sqrt{x} \implies t^2 = x \implies dx = 2t \, dt \).
Paso 2: Sustituimos en la integral:
\[ \int \frac{2t}{1 + t} \, dt \]
Paso 3: Dividimos o sumamos y restamos 1 en el numerador: \( 2t = 2(t+1) - 2 \):
\[ \int \left( 2 - \frac{2}{t+1} \right) dt = 2t - 2\ln|t+1| + C \]
Paso 4: Deshacemos el cambio \( t = \sqrt{x} \):
\[ = 2\sqrt{x} - 2\ln(1+\sqrt{x}) + C \]
Ejercicio 2: Cambio trigonométrico directo
Calcular: \[ \int \frac{\cos x}{\sin^2 x + 2\sin x + 2} \, dx \]
Paso 1: Cambio \( t = \sin x \implies dt = \cos x \, dx \):
\[ \int \frac{dt}{t^2 + 2t + 2} \]
Paso 2: Completamos cuadrados en el denominador: \( t^2 + 2t + 2 = (t+1)^2 + 1 \):
\[ \int \frac{dt}{(t+1)^2 + 1} = \arctan(t+1) + C \]
Paso 3: Deshacemos el cambio:
\[ = \arctan(\sin x + 1) + C \]