Ejercicio 1: Tres raíces reales distintas
Descomponer en fracciones simples: \[ \frac{x^2 + 1}{x(x-1)(x+2)} \]
Paso 1: Planteamos: \( \frac{x^2+1}{x(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2} \).
Identidad: \( x^2 + 1 = A(x-1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x-1) \).
Paso 2: Evaluamos en las raíces:
- Para \( x = 0 \): \( 1 = A(-1)(2) = -2A \implies A = -\frac{1}{2} \).
- Para \( x = 1 \): \( 2 = B(1)(3) = 3B \implies B = \frac{2}{3} \).
- Para \( x = -2 \): \( 5 = C(-2)(-3) = 6C \implies C = \frac{5}{6} \).
Resultado: \[ \frac{-1/2}{x} + \frac{2/3}{x-1} + \frac{5/6}{x+2} \]
Ejercicio 2: Combinación de raíz simple y doble
Descomponer: \[ \frac{2x}{(x+1)(x-1)^2} \]
Paso 1: Estructura: \( \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} \).
Identidad: \( 2x = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1) \).
Paso 2: Valores numéricos:
- \( x = 1 \implies 2 = C(2) \implies C = 1 \).
- \( x = -1 \implies -2 = A(-2)^2 = 4A \implies A = -\frac{1}{2} \).
- Términos en \( x^2 \): \( 0 = A + B \implies B = -A = \frac{1}{2} \).
Resultado: \[ \frac{-1/2}{x+1} + \frac{1/2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} \]