Bloque 3 • Análisis Matemático
Ejercicios resueltos: Teorema de Weierstrass
Problemas modelo resueltos con desglose algebraico paso a paso para dominar este concepto clave en selectividad.
Ejercicio 1
Cálculo de extremos absolutos por Weierstrass
Determina los extremos absolutos y la imagen de la función \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \) en el intervalo \( [-2, 3] \).
Resolución:
1. \( f \) es polinómica, por tanto continua en \( [-2, 3] \). Cumple el Teorema de Weierstrass.
2. Derivada: \( f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1) = 0 \implies x = 2, \; x = -1 \) (ambos en \( [-2, 3] \)).
3. Evaluamos candidatos (puntos críticos y extremos):
- \( f(-2) = 2(-8) - 3(4) - 12(-2) + 1 = -16 - 12 + 24 + 1 = -3 \)
- \( f(-1) = 2(-1) - 3(1) - 12(-1) + 1 = -2 - 3 + 12 + 1 = 8 \)
- \( f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19 \)
- \( f(3) = 2(27) - 3(9) - 12(3) + 1 = 54 - 27 - 36 + 1 = -8 \)
4. Conclusión: Mínimo absoluto \( m = -19 \) (en \( x=2 \)). Máximo absoluto \( M = 8 \) (en \( x=-1 \)).
\[ \text{Im}(f) = [-19, 8] \]