Teorema de Weierstrass - Matemáticas II

1. Enunciado del Teorema de Weierstrass (Extremos Absolutos)

Si una función \( f(x) \) es continua en un intervalo cerrado y acotado \( [a, b] \), entonces alcanza en dicho intervalo su valor máximo absoluto \( M \) y su valor mínimo absoluto \( m \):

\[ \exists c, d \in [a, b] \text{ tales que } f(c) = m \le f(x) \le M = f(d), \quad \forall x \in [a, b] \]

Imagen de un intervalo cerrado: La imagen de un intervalo compacto \( [a, b] \) mediante una función continua es otro intervalo compacto: \[ \text{Im}(f) = [m, M] \]

Cálculo de los extremos: Los extremos absolutos se buscan evaluando la función en: 1) Los puntos críticos interiores donde \( f'(x) = 0 \); 2) Los puntos singulares donde no exista derivada; 3) Los extremos del intervalo \( x = a \) y \( x = b \).

📌 Ejemplo Concreto del Teorema de Weierstrass:

Hallemos el máximo y mínimo absolutos garantizados por Weierstrass para \( f(x) = x^3 - 3x \) en el intervalo cerrado \([0, 2]\):

\(f\) es continua en el cerrado y acotado \([0, 2]\). Evaluamos extremos y puntos críticos (\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \implies x = 1\)):

f(0) = 0, \qquad f(1) = 1 - 3 = -2, \qquad f(2) = 8 - 6 = 2

Mínimo absoluto: \(-2\) (alcanzado en \(x = 1\)). Máximo absoluto: \(2\) (alcanzado en \(x = 2\)).

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Polinomio en intervalo cerrado

\( f(x) = x^3 - 3x \) en \( [0, 2] \). Puntos críticos: \( f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \implies x = 1 \in [0, 2] \).

Evaluamos: \( f(0) = 0 \), \( f(1) = -2 \), \( f(2) = 2 \).

Mínimo absoluto: \( m = -2 \) (en \( x=1 \)). Máximo absoluto: \( M = 2 \) (en \( x=2 \)). Recorrido: \( [-2, 2] \).

Ejemplo 2: Necesidad del intervalo cerrado

\( f(x) = x \) en \( (0, 1) \) no alcanza ni máximo ni mínimo absoluto.

Ejemplo 3: Necesidad de la continuidad

Una función discontinua puede no alcanzar sus extremos aunque el intervalo sea cerrado.