1. Concepto de Matriz Traspuesta
La trasposición de matrices es una operación unaria fundamental en álgebra matricial. Consiste en reorientar la matriz intercambiando de manera ordenada sus filas por sus columnas.
Dada una matriz $$ A $$ de dimensión $$ m \times n $$, su matriz traspuesta, simbolizada por $$ A^t $$ (o $$ A^T $$), es la matriz de dimensión $$ n \times m $$ cuya primera columna coincide con la primera fila de $$ A $$, su segunda columna con la segunda fila de $$ A $$, y así sucesivamente.
Enunciado: Hallar la matriz traspuesta de la matriz real de orden $$ 2 \times 3 $$, dada por $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar cada una de las filas horizontales de la matriz original. A continuación reorientaremos cada fila para escribirla verticalmente como una columna en la nueva matriz. Para terminar expresaremos la matriz traspuesta $$ A^t $$ indicando su nueva dimensión invertida.
Extraemos las filas de la matriz $$ A $$ y las disponemos como columnas:
- Fila 1 horizontal: $$ (1, 4, -2) $$ → Columna 1 vertical: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} $$.
- Fila 2 horizontal: $$ (3, 0, 5) $$ → Columna 2 vertical: $$ \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} $$.
Unificamos las columnas resultantes:
Conclusión: La matriz traspuesta es $$ A^t = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} $$, verificándose que la dimensión inicial $$ 2 \times 3 $$ se invierte a $$ 3 \times 2 $$.
2. Relación Posicional de los Elementos
A nivel de elementos individuales, el elemento que en $$ A^t $$ se encuentra en la fila $$ i $$ y la columna $$ j $$ es exactamente el elemento que en la matriz original $$ A $$ ocupaba la fila $$ j $$ y la columna $$ i $$:
Enunciado: En la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$ y su traspuesta $$ A^t = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} $$, verificar analíticamente la correspondencia de subíndices para el elemento de la fila 2 y columna 1 de $$ A^t $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el elemento $$ (a^t)_{21} $$ en la matriz traspuesta. A continuación buscaremos el elemento simétrico $$ a_{12} $$ en la matriz original intercambiando los índices. Para terminar compararemos ambos valores numéricos para corroborar la igualdad teórica.
Identificamos las entradas en ambas matrices:
- En $$ A^t $$ (fila 2, columna 1): $$ (a^t)_{21} = 4 $$.
- En $$ A $$ (fila 1, columna 2): $$ a_{12} = 4 $$.
Conclusión: Se confirma rigurosamente que el elemento transmutado cumple la ley posicional $$ (a^t)_{ij} = a_{ji} $$.
Si la matriz es cuadrada ($$ m = n $$), la traspuesta conserva el mismo orden $$ n $$. Además, los elementos de su diagonal principal cumplen $$ i = j $$, por lo que $$ (a^t)_{ii} = a_{ii} $$. Esto significa que la diagonal principal jamás se modifica al trasponer una matriz.
3. Propiedad Involutiva de la Trasposición
Trasponer dos veces consecutivas una matriz devuelve exactamente la matriz original de partida:
Enunciado: Partiendo de la matriz traspuesta $$ A^t = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} $$, aplicar de nuevo la trasposición y comprobar que se recupera la matriz $$ A $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las filas de la matriz $$ A^t $$. A continuación colocaremos cada una de sus filas como columnas de una nueva matriz $$ (A^t)^t $$. Para terminar contrastaremos la matriz obtenida con la matriz $$ A $$ original para verificar la propiedad involutiva.
- Fila 1 de $$ A^t $$: $$ (1, 3) $$ → Columna 1: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} $$.
- Fila 2 de $$ A^t $$: $$ (4, 0) $$ → Columna 2: $$ \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} $$.
- Fila 3 de $$ A^t $$: $$ (-2, 5) $$ → Columna 3: $$ \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} $$.
Conclusión: Queda demostrado analíticamente que $$ (A^t)^t = A $$, verificando el carácter involutivo de la trasposición.
Ejemplos Prácticos de Trasposición
Enunciado: Dada la matriz fila $$ F = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{1 \times 4}(\mathbb{R}) $$, calcular su matriz traspuesta $$ F^t $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el número de filas y columnas de partida. A continuación convertiremos la única fila horizontal en una columna vertical. Para terminar formalizaremos la nueva dimensión de la matriz resultante.
La matriz $$ F $$ tiene dimensión $$ 1 \times 4 $$. Al trasponer, su dimensión se invierte a $$ 4 \times 1 $$:
Conclusión: La matriz traspuesta de la fila $$ F $$ es el vector columna $$ F^t = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} $$.
Enunciado: Obtener la traspuesta de la matriz rectangular $$ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 6 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar cada fila horizontal de la matriz $$ A $$. A continuación trasladaremos la primera y segunda fila para formar la primera y segunda columna de $$ A^t $$. Para terminar ensamblaremos la matriz completa de dimensión $$ 3 \times 2 $$.
- Fila 1: $$ (3, 1, 6) $$ → Columna 1: $$ \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} $$.
- Fila 2: $$ (2, 5, 4) $$ → Columna 2: $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} $$.
Conclusión: La matriz traspuesta es $$ A^t = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} $$, con orden $$ 3 \times 2 $$.
Enunciado: Dada la matriz cuadrada $$ B = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & 3 \\ -5 & 8 & 9 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $$, calcular su traspuesta $$ B^t $$ y verificar que su diagonal principal permanece invariante.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por trasponer cada una de las tres filas de la matriz $$ B $$ convirtiéndolas en columnas. A continuación identificaremos los elementos diagonales antes y después de la trasposición. Para terminar compararemos las diagonales para verificar formalmente su invarianza.
- Fila 1: $$ (4, -2, 1) $$ → Columna 1: $$ \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$.
- Fila 2: $$ (0, 7, 3) $$ → Columna 2: $$ \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} $$.
- Fila 3: $$ (-5, 8, 9) $$ → Columna 3: $$ \begin{pmatrix} -5 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} $$.
La diagonal principal de $$ B $$ es $$ \{4, 7, 9\} $$. La diagonal principal de $$ B^t $$ es $$ \{4, 7, 9\} $$. Ambas coinciden de forma idéntica.
Conclusión: La traspuesta es $$ B^t = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -5 \\ -2 & 7 & 8 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix} $$ y se confirma que la diagonal principal no sufre ninguna alteración al trasponer.