1. Condición de Compatibilidad para la Suma
A diferencia de los números reales habituales, no cualesquiera dos matrices pueden sumarse entre sí. En el álgebra matricial existe una regla de oro insalvable:
Para poder sumar (o restar) dos matrices $$ A $$ y $$ B $$, ambas deben tener exactamente el mismo orden dimensional:
Si sus órdenes son distintos en filas o en columnas: la suma NO se puede realizar y no está definida.
Enunciado: Dadas las matrices numéricas $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $$, $$ B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $$ y $$ C = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$, determinar justificadamente la viabilidad de calcular $$ A + B $$ y $$ A + C $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la dimensión exacta de cada una de las matrices dadas. A continuación compararemos el número de filas y columnas de los sumandos en cada caso. Para terminar concluiremos razonadamente si es posible realizar la suma o si la operación resulta incompatible.
- Matriz $$ A $$: Dimensión $$ 2 \times 2 $$ (2 filas y 2 columnas).
- Matriz $$ B $$: Dimensión $$ 2 \times 2 $$ (2 filas y 2 columnas).
- Matriz $$ C $$: Dimensión $$ 2 \times 3 $$ (2 filas y 3 columnas).
- Para $$ A + B $$: Ambas matrices tienen dimensión $$ 2 \times 2 $$. Al coincidir exactamente en filas y columnas, la suma es plenamente compatible.
- Para $$ A + C $$: La matriz $$ A $$ posee 2 columnas mientras que $$ C $$ posee 3 columnas ($$ 2 \neq 3 $$). Al no tener el mismo orden, la operación no está definida.
Conclusión: La operación $$ A + B $$ sí se puede realizar por tener órdenes idénticos, mientras que $$ A + C $$ es incompatible e imposible por tener distinto número de columnas ($$ 2 \neq 3 $$).
2. Algoritmo de Cálculo Elemento a Elemento
Dadas dos matrices compatibles $$ A, B \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) $$, la matriz suma $$ C = A + B $$ es otra matriz del mismo orden $$ m \times n $$ que se obtiene sumando los números ubicados en la misma posición de ambas matrices:
Enunciado: Sumar las matrices compatibles de orden 2: $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que las dos matrices son cuadradas de orden 2. A continuación plantearemos la suma de cada posición $$ a_{ij} + b_{ij} $$. Para terminar calcularemos cada suma aritmética elemental para obtener la matriz final.
Operamos individualmente cada término:
- Posición (1,1): $$ 2 + 4 = 6 $$
- Posición (1,2): $$ 5 + (-2) = 5 - 2 = 3 $$
- Posición (2,1): $$ -1 + 0 = -1 $$
- Posición (2,2): $$ 3 + 7 = 10 $$
Conclusión: La matriz suma es $$ A + B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ -1 & 10 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $$.
3. Resta o Diferencia de Matrices
La resta se define de manera natural a través de la matriz opuesta: restar $$ B $$ a la matriz $$ A $$ es equivalente a sumarle su opuesta $$ -B $$:
Enunciado: Calcular la diferencia matricial $$ A - B $$ para las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que ambas matrices tienen orden $$ 2 \times 2 $$. A continuación plantearemos la resta de los elementos que ocupan la misma posición. Para terminar efectuaremos las operaciones aritméticas prestando especial atención a la regla de los signos.
- Posición (1,1): $$ 2 - 4 = -2 $$
- Posición (1,2): $$ 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 $$
- Posición (2,1): $$ -1 - 0 = -1 $$
- Posición (2,2): $$ 3 - 7 = -4 $$
Conclusión: La matriz diferencia resultante es $$ A - B = \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} $$.
Una matriz solo puede sumarse o restarse con otra matriz de su misma dimensión. No tiene ningún sentido matemático sumar un número real suelto a una matriz (como escribir $$ A + 3 $$); dicha operación no existe en álgebra lineal.
Ejemplos Prácticos con Diferentes Órdenes
Enunciado: Dadas las matrices cuadradas de orden 2: $$ A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} $$, calcular la matriz suma $$ A + B $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar la compatibilidad de órdenes de ambas matrices cuadradas. A continuación plantearemos la suma algebraica componente a componente emparejando cada posición. Para terminar efectuaremos las sumas aritméticas desglosando los signos para obtener el resultado definitivo.
Ambas matrices tienen dimensión $$ 2 \times 2 $$ (2 filas y 2 columnas). Por tanto, la suma es posible y la matriz resultante $$ A + B $$ pertenecerá a $$ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $$.
Operamos cada entrada individualmente:
- Posición (1,1): $$ 5 + (-1) = 5 - 1 = 4 $$
- Posición (1,2): $$ -3 + 4 = 1 $$
- Posición (2,1): $$ 2 + 6 = 8 $$
- Posición (2,2): $$ 7 + (-2) = 7 - 2 = 5 $$
Conclusión: La matriz suma resultante es $$ A + B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 5 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $$.
Enunciado: Sean las matrices rectangulares de dimensión $$ 2 \times 3 $$: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 2 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 6 & 1 & 5 \end{pmatrix} $$. Hallar la matriz suma $$ C = A + B $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la igualdad dimensional entre las matrices rectangulares. A continuación dispondremos la suma término a término en cada una de las 2 filas y 3 columnas. Para terminar realizaremos las adiciones aritméticas directas para conformar la matriz solución.
Ambas matrices tienen 2 filas y 3 columnas ($$ 2 \times 3 $$). La compatibilidad es total y el resultado tendrá orden $$ 2 \times 3 $$.
- Fila 1: $$ 1 + 3 = 4 $$, $$ 3 + 2 = 5 $$, $$ 5 + 4 = 9 $$
- Fila 2: $$ 6 + 6 = 12 $$, $$ 4 + 1 = 5 $$, $$ 2 + 5 = 7 $$
Conclusión: La matriz suma es $$ C = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 9 \\ 12 & 5 & 7 \end{pmatrix} $$, preservando la dimensión $$ 2 \times 3 $$.
Enunciado: Dadas las matrices $$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$ y $$ N = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $$, justificar formalmente si es posible efectuar la suma $$ M + N $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar y registrar explícitamente el número de filas y columnas de cada matriz. A continuación compararemos sus dimensiones término a término verificando la condición necesaria de la suma. Para terminar dictaminaremos la imposibilidad algebraica de la operación justificando la ausencia de homólogos posicionales.
Registramos las dimensiones de cada matriz:
- La matriz $$ M $$ consta de 2 filas y 3 columnas → $$ \text{ord}(M) = 2 \times 3 $$.
- La matriz $$ N $$ consta de 2 filas y 2 columnas → $$ \text{ord}(N) = 2 \times 2 $$.
Para que la suma esté definida, las matrices deben poseer órdenes estrictamente iguales en filas y en columnas:
Puesto que el número de columnas no coincide ($$ 3 \neq 2 $$), la condición indispensable de compatibilidad se incumple.
La adición matricial exige sumar elementos en posiciones homólogas ($$ c_{ij} = m_{ij} + n_{ij} $$). Los elementos de la tercera columna de $$ M $$ ($$ m_{13} = 4 $$ y $$ m_{23} = -1 $$) carecen de entrada homóloga posicional en $$ N $$, ya que la matriz $$ N $$ solo dispone de 2 columnas.
Conclusión: Al no tener el mismo orden dimensional ($$ 2 \times 3 \neq 2 \times 2 $$), la operación $$ M + N $$ no está definida en el álgebra matricial y resulta imposible de realizar.