1.1.4 Producto de un número por una matriz · Teoría y Ejemplos

1. Definición del Producto por un Escalar

En álgebra lineal, a los números reales que multiplican a matrices se les denomina comúnmente escalares. La multiplicación de un escalar $$ k \in \mathbb{R} $$ por una matriz $$ A $$ es la operación más directa del cálculo matricial:

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplica dicho número por todos y cada uno de los elementos que componen la matriz.

k \cdot A = k \cdot (a_{ij}) = (k \cdot a_{ij})

📌 Ejemplo Concreto de Producto por Escalar:

Enunciado: Dada la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & -5 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$ y el escalar $$ k = 3 $$, calcular la matriz $$ 3A $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el escalar multiplicador y la dimensión de la matriz. A continuación multiplicaremos cada uno de los 6 elementos de la matriz por el número 3. Para terminar resolveremos las multiplicaciones aritméticas elementales y expresaremos la matriz resultante.

Paso 1: Planteamiento del producto escalar en cada celda

3A = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 & 3 \cdot (-1) & 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot (-5) \end{pmatrix}

Paso 2: Resolución aritmética

Fila 1: $$ 3 \cdot 2 = 6 $$, $$ 3 \cdot (-1) = -3 $$, $$ 3 \cdot 4 = 12 $$
Fila 2: $$ 3 \cdot 0 = 0 $$, $$ 3 \cdot 3 = 9 $$, $$ 3 \cdot (-5) = -15 $$

3A = \begin{pmatrix} 6 & -3 & 12 \\ 0 & 9 & -15 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R})

Conclusión: La matriz resultante es $$ 3A = \begin{pmatrix} 6 & -3 & 12 \\ 0 & 9 & -15 \end{pmatrix} $$, conservando estrictamente el orden dimensional $$ 2 \times 3 $$.

2. Características y Propiedades Clave

Invarianza del orden dimensional: Si $$ A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) $$, entonces $$ k \cdot A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) $$.
Universalidad: Siempre se puede multiplicar un número por una matriz, con independencia de sus dimensiones.
Matriz nula: Multiplicar por cero anula todas las entradas: $$ 0 \cdot A = O $$.
Matriz opuesta: Multiplicar por $$ -1 $$ produce la opuesta: $$ (-1) \cdot A = -A $$.
Extracción de factor común: Si todas las entradas son múltiplos de un mismo escalar $$ k $$, se puede extraer fuera de la matriz.

📌 Ejemplo Concreto de Extracción de Factor Común y Matriz Opuesta:

Enunciado: Dada la matriz $$ M = \begin{pmatrix} 10 & -15 \\ 5 & 25 \end{pmatrix} $$, extraer factor común el escalar común a todos sus elementos y calcular su matriz opuesta $$ -M $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el máximo común divisor de todos los coeficientes para extraerlo como escalar factor común. A continuación dividiremos cada entrada entre dicho factor. Para terminar multiplicaremos la matriz original por $$ -1 $$ para formular la matriz opuesta.

Paso 1: Extracción del factor común escalar

Todos los coeficientes son divisibles entre 5:

M = \begin{pmatrix} 5 \cdot 2 & 5 \cdot (-3) \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 5 \end{pmatrix} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}

Paso 2: Obtención de la matriz opuesta

-M = (-1) \cdot \begin{pmatrix} 10 & -15 \\ 5 & 25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 15 \\ -5 & -25 \end{pmatrix}

Conclusión: La forma factorizada es $$ M = 5 \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} $$ y la matriz opuesta es $$ -M = \begin{pmatrix} -10 & 15 \\ -5 & -25 \end{pmatrix} $$.

🔍 Observación Importante sobre la Operación

Al multiplicar un escalar $$ k $$ por una matriz, el número multiplica a absolutamente todos y cada uno de los elementos: $$ k \cdot A = (k \cdot a_{ij}) $$. Cada fila y cada columna ve escalados todos sus coeficientes por el mismo factor $$ k $$.

Ejemplos Prácticos de Multiplicación por Escalar

Ejemplo 1 · Matriz Rectangular de Orden 2 × 3

Multiplicación por un escalar entero positivo

Enunciado: Dada la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 5 & 6 & 4 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$, calcular la matriz $$ 2A $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el factor multiplicador 2. A continuación aplicaremos el producto escalar multiplicando el número 2 por cada entrada de las 2 filas y 3 columnas. Para terminar calcularemos los productos aritméticos y escribiremos la matriz final.

Paso 1: Planteamiento del producto escalar

2A = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 5 & 2 \cdot 6 & 2 \cdot 4 \end{pmatrix}

Paso 2: Resolución aritmética

Fila 1: $$ 2 \cdot 3 = 6 $$, $$ 2 \cdot 1 = 2 $$, $$ 2 \cdot 2 = 4 $$
Fila 2: $$ 2 \cdot 5 = 10 $$, $$ 2 \cdot 6 = 12 $$, $$ 2 \cdot 4 = 8 $$

2A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 4 \\ 10 & 12 & 8 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R})

Conclusión: La matriz duplicada es $$ 2A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 4 \\ 10 & 12 & 8 \end{pmatrix} $$.

Ejemplo 2 · Matriz Cuadrada de Orden 3 × 3

Multiplicación por un escalar fraccionario negativo y simplificación

Enunciado: Sea la matriz cuadrada $$ B = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 6 \\ 0 & 8 & -4 \\ -10 & 2 & 12 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $$. Calcular la matriz $$ -\frac{1}{2} B $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por interpretar la multiplicación por el escalar fraccionario $$ -\frac{1}{2} $$ como la división de cada elemento entre $$ -2 $$. A continuación aplicaremos la operación a cada una de las 9 entradas de la matriz de orden 3. Para terminar resolveremos las divisiones respetando la regla de signos y simplificaremos al máximo.

Paso 1: Planteamiento de las divisiones celda a celda

-\frac{1}{2} B = \begin{pmatrix} \frac{4}{-2} & \frac{-2}{-2} & \frac{6}{-2} \\ \frac{0}{-2} & \frac{8}{-2} & \frac{-4}{-2} \\ \frac{-10}{-2} & \frac{2}{-2} & \frac{12}{-2} \end{pmatrix}

Paso 2: Simplificación aritmética y regla de signos

Fila 1: $$ \frac{4}{-2} = -2 $$, $$ \frac{-2}{-2} = 1 $$, $$ \frac{6}{-2} = -3 $$
Fila 2: $$ \frac{0}{-2} = 0 $$, $$ \frac{8}{-2} = -4 $$, $$ \frac{-4}{-2} = 2 $$
Fila 3: $$ \frac{-10}{-2} = 5 $$, $$ \frac{2}{-2} = -1 $$, $$ \frac{12}{-2} = -6 $$

-\frac{1}{2} B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ 0 & -4 & 2 \\ 5 & -1 & -6 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})

Conclusión: La matriz resultante tras escalar por $$ -\frac{1}{2} $$ es $$ \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ 0 & -4 & 2 \\ 5 & -1 & -6 \end{pmatrix} $$.

Ejemplo 3 · Combinación Lineal de Matrices 2 × 2

Cálculo ordenado de la combinación lineal 3M - 2N

Enunciado: Dadas las matrices cuadradas $$ M = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ y $$ N = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$, calcular la matriz resultante de la combinación lineal $$ 3M - 2N $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular de forma independiente los productos escalares $$ 3M $$ y $$ 2N $$. A continuación plantearemos la resta matricial componente a componente entre ambas matrices obtenidas. Para terminar realizaremos las operaciones aritméticas para determinar el resultado final.

Paso 1: Cálculo de los productos escalares individuales

3M = 3 \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1) & 3(-2) \\ 3(3) & 3(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}

2N = 2 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(2) & 2(1) \\ 2(-1) & 2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}

Paso 2: Planteamiento y resta elemento a elemento

3M - 2N = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 4 & -6 - 2 \\ 9 - (-2) & 12 - 0 \end{pmatrix}

Paso 3: Resolución aritmética final

Posición (1,1): $$ 3 - 4 = -1 $$
Posición (1,2): $$ -6 - 2 = -8 $$
Posición (2,1): $$ 9 - (-2) = 9 + 2 = 11 $$
Posición (2,2): $$ 12 - 0 = 12 $$

3M - 2N = \begin{pmatrix} -1 & -8 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})

Conclusión: La combinación lineal produce la matriz $$ 3M - 2N = \begin{pmatrix} -1 & -8 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} $$.

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