1.1.5 Producto de matrices · Teoría y Ejemplos

1. Condición de Multiplicabilidad (Compatibilidad)

La multiplicación de matrices es la operación más importante del álgebra matricial. A diferencia de los números ordinarios, dos matrices no se pueden multiplicar siempre.

⚠️ Regla de Oro Dimensional para el Producto

Para que el producto de dos matrices $$ A \cdot B $$ sea posible, es estrictamente necesario que:

\text{Nº de columnas de la 1ª matriz } (A) = \text{Nº de filas de la 2ª matriz } (B)

Si esta igualdad no se cumple, el producto matricial no está definido y es imposible de realizar.

📌 Ejemplo Concreto de Compatibilidad para el Producto:

Enunciado: Dadas las matrices con dimensiones $$ A \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$, $$ B \in \mathcal{M}_{3 \times 2}(\mathbb{R}) $$ y $$ C \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $$, estudiar si están definidos los productos $$ A \cdot B $$ y $$ A \cdot C $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el número de columnas de la primera matriz y el número de filas de la segunda en cada caso. A continuación compararemos estos dos valores interiores para verificar la condición de compatibilidad. Para terminar dictaminaremos razonadamente la viabilidad de cada producto.

Paso 1: Estudio de compatibilidad para $$ A \cdot B $$

La matriz $$ A $$ tiene orden $$ 2 \times 3 $$ (3 columnas) y la matriz $$ B $$ tiene orden $$ 3 \times 2 $$ (3 filas):

\text{Columnas de } A = 3 = \text{Filas de } B \implies \text{El producto } A \cdot B \text{ SÍ es posible.}

Paso 2: Estudio de compatibilidad para $$ A \cdot C $$

La matriz $$ A $$ tiene 3 columnas y la matriz $$ C $$ tiene dimensión $$ 2 \times 2 $$ (2 filas):

\text{Columnas de } A = 3 \neq 2 = \text{Filas de } C \implies \text{El producto } A \cdot C \text{ es imposible.}

Conclusión: El producto $$ A \cdot B $$ es plenamente compatible y ejecutable, mientras que $$ A \cdot C $$ no está definido por incompatibilidad dimensional ($$ 3 \neq 2 $$).

2. Dimensiones de la Matriz Resultante

Cuando el producto es compatible, las dimensiones extremas determinan el tamaño de la matriz final:

A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) \quad \text{y} \quad B \in \mathcal{M}_{n \times p}(\mathbb{R}) \implies (A \cdot B) \in \mathcal{M}_{m \times p}(\mathbb{R})

📌 Ejemplo Concreto de Orden Resultante:

Enunciado: Determinar la dimensión exacta de la matriz producto al multiplicar $$ A \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$ por $$ B \in \mathcal{M}_{3 \times 2}(\mathbb{R}) $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por constatar la coincidencia de los índices interiores para certificar la multiplicabilidad. A continuación tomaremos el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda matriz como extremos. Para terminar definiremos formalmente la dimensión resultante.

Paso 1: Identificación de dimensiones interiores y exteriores

(2 \times 3) \cdot (3 \times 2) \longrightarrow \text{Interiores: } 3 = 3 \; \text{(Coinciden)}, \quad \text{Exteriores: } 2 \times 2

Paso 2: Conclusión dimensional

La matriz producto $$ A \cdot B $$ adquiere las dimensiones exteriores, teniendo 2 filas y 2 columnas.

Conclusión: La matriz resultante pertenece a $$ \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) = \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $$, siendo una matriz cuadrada de orden 2.

3. La Regla de «Fila por Columna»

Para calcular el número que ocupa la fila $$ i $$ y la columna $$ j $$ de la matriz producto (el elemento $$ c_{ij} $$), se multiplica cada elemento de la fila $$ i $$ de la primera matriz por el elemento correspondiente de la columna $$ j $$ de la segunda matriz, y se suman todos los resultados:

c_{ij} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \dots + a_{in} b_{nj} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}

📌 Ejemplo Concreto del Cálculo Fila por Columna:

Enunciado: Dadas las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3 \times 2}(\mathbb{R}) $$, calcular todos los elementos de la matriz producto $$ C = A \cdot B $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que las 3 columnas de $$ A $$ coinciden con las 3 filas de $$ B $$, asegurando un producto de orden $$ 2 \times 2 $$. A continuación aplicaremos la regla de fila por columna multiplicando y sumando exhaustivamente los elementos para cada una de las 4 posiciones. Para terminar organizaremos los valores en la matriz final.

Paso 1: Cálculo de la primera fila de C

Posición (1,1) [Fila 1 de A × Columna 1 de B]:
$$ c_{11} = (1)(7) + (2)(9) + (3)(2) = 7 + 18 + 6 = 31 $$
Posición (1,2) [Fila 1 de A × Columna 2 de B]:
$$ c_{12} = (1)(8) + (2)(1) + (3)(0) = 8 + 2 + 0 = 10 $$

Paso 2: Cálculo de la segunda fila de C

Posición (2,1) [Fila 2 de A × Columna 1 de B]:
$$ c_{21} = (4)(7) + (5)(9) + (6)(2) = 28 + 45 + 12 = 85 $$
Posición (2,2) [Fila 2 de A × Columna 2 de B]:
$$ c_{22} = (4)(8) + (5)(1) + (6)(0) = 32 + 5 + 0 = 37 $$

Paso 3: Ensamblado de la matriz producto

C = A \cdot B = \begin{pmatrix} 31 & 10 \\ 85 & 37 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})

Conclusión: El producto fila por columna da la matriz cuadrada $$ C = \begin{pmatrix} 31 & 10 \\ 85 & 37 \end{pmatrix} $$.

4. Traspuesta del Producto de Matrices

La traspuesta de un producto matricial invierte obligatoriamente el orden de los factores:

(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t

📌 Ejemplo Concreto de Traspuesta del Producto:

Enunciado: Dadas las matrices de orden 2, $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$, calcular $$ (A \cdot B)^t $$ y verificar que coincide con $$ B^t \cdot A^t $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el producto directo $$ A \cdot B $$ y trasponer el resultado. A continuación hallaremos las traspuestas individuales $$ B^t $$ y $$ A^t $$ y efectuaremos su multiplicación en orden inverso. Para terminar compararemos ambas matrices resultantes para certificar la igualdad formal.

Paso 1: Cálculo del producto directo y su traspuesta

A \cdot B = \begin{pmatrix} 1(4)+2(-1) & 1(1)+2(2) \\ 0(4)+3(-1) & 0(1)+3(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-2 & 1+4 \\ 0-3 & 0+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}

(A \cdot B)^t = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}

Paso 2: Cálculo del producto en orden inverso de traspuestas

B^t = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

B^t \cdot A^t = \begin{pmatrix} 4(1)+(-1)(2) & 4(0)+(-1)(3) \\ 1(1)+2(2) & 1(0)+2(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-2 & 0-3 \\ 1+4 & 0+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}

Conclusión: Ambos caminos conducen a la matriz $$ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} $$, verificando de forma estricta que $$ (A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t $$.

🔍 NO CONMUTATIVIDAD (¡Regla de Oro Fundamental!)

En el álgebra de matrices, el producto NO es conmutativo en general: $$ A \cdot B \neq B \cdot A $$. De hecho, pueden darse casos tan dispares como que exista $$ A \cdot B $$ pero no sea posible calcular $$ B \cdot A $$, que existan ambos con dimensiones distintas, o que teniendo el mismo orden den matrices completamente diferentes.

Ejemplos Prácticos con Diferentes Órdenes

Ejemplo 1 · Fila 1 × 3 por Columna 3 × 1 vs Inverso

De un número real 1 × 1 a una matriz completa 3 × 3

Enunciado: Dadas las matrices $$ F = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{1 \times 3}(\mathbb{R}) $$ y $$ C = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3 \times 1}(\mathbb{R}) $$, calcular los productos $$ F \cdot C $$ y $$ C \cdot F $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la compatibilidad dimensional y el orden resultante de $$ F \cdot C $$. A continuación calcularemos su producto escalar que dará orden $$ 1 \times 1 $$. Para terminar calcularemos el producto inverso $$ C \cdot F $$ cuya dimensión será $$ 3 \times 3 $$, evidenciando la no conmutatividad radical.

Paso 1: Cálculo del producto F × C (orden 1 × 1)

Multiplicamos la fila por la columna:

F \cdot C = (2)(4) + (-1)(5) + (3)(-2) = 8 - 5 - 6 = -3 \implies (F \cdot C) = \begin{pmatrix} -3 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_1(\mathbb{R})

Paso 2: Cálculo del producto C × F (orden 3 × 3)

Multiplicamos cada elemento de la columna $$ C $$ por toda la fila $$ F $$:

C \cdot F = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(2) & 4(-1) & 4(3) \\ 5(2) & 5(-1) & 5(3) \\ -2(2) & -2(-1) & -2(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -4 & 12 \\ 10 & -5 & 15 \\ -4 & 2 & -6 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})

Conclusión: El producto $$ F \cdot C $$ es una matriz escalar de orden $$ 1 \times 1 $$ con valor $$ -3 $$, mientras que $$ C \cdot F $$ es una matriz cuadrada de orden 3. Se evidencia la profunda asimetría y no conmutatividad del producto matricial.

Ejemplo 2 · Matrices Cuadradas de Orden 2 × 2

Comprobación de la no conmutatividad en matrices cuadradas

Enunciado: Dadas las matrices cuadradas $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} $$, calcular los productos $$ A \cdot B $$ y $$ B \cdot A $$, y comparar los resultados.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el producto $$ A \cdot B $$ aplicando la regla de fila por columna. A continuación calcularemos el producto inverso $$ B \cdot A $$ siguiendo el mismo procedimiento. Para terminar compararemos las matrices resultantes para contrastar si conmutan o no.

Paso 1: Cálculo del producto A · B

A \cdot B = \begin{pmatrix} 1(2)+2(1) & 1(-1)+2(4) \\ 3(2)+0(1) & 3(-1)+0(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2 & -1+8 \\ 6+0 & -3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}

Paso 2: Cálculo del producto B · A

B \cdot A = \begin{pmatrix} 2(1)+(-1)(3) & 2(2)+(-1)(0) \\ 1(1)+4(3) & 1(2)+4(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-3 & 4+0 \\ 1+12 & 2+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 13 & 2 \end{pmatrix}

Paso 3: Comparación directa de resultados

\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 13 & 2 \end{pmatrix} \implies A \cdot B \neq B \cdot A

Conclusión: Se demuestra que $$ A \cdot B \neq B \cdot A $$, confirmando que las matrices $$ A $$ y $$ B $$ no conmutan.

Ejemplo 3 · Matrices Rectangulares 2 × 3 y 3 × 2

Multiplicación rectangular y conformación del orden cuadrado 2 × 2

Enunciado: Calcular el producto matricial de $$ M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$ por $$ N = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3 \times 2}(\mathbb{R}) $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar la compatibilidad entre el número de columnas de $$ M $$ y el número de filas de $$ N $$. A continuación multiplicaremos cada fila de $$ M $$ por cada columna de $$ N $$ desglosando los productos y sumas individuales. Para terminar ensamblaremos los 4 resultados en una matriz de dimensión $$ 2 \times 2 $$.

Paso 1: Verificación de orden y multiplicabilidad

Dimensiones: $$ (2 \times 3) \cdot (3 \times 2) $$. El número de columnas de $$ M $$ coincide con las filas de $$ N $$ ($$ 3 = 3 $$). La matriz producto tendrá orden $$ 2 \times 2 $$.

Paso 2: Desarrollo aritmético fila por columna

Posición (1,1): $$ 2(1) + (-1)(-2) + (1)(3) = 2 + 2 + 3 = 7 $$
Posición (1,2): $$ 2(2) + (-1)(1) + (1)(0) = 4 - 1 + 0 = 3 $$
Posición (2,1): $$ 0(1) + 3(-2) + 4(3) = 0 - 6 + 12 = 6 $$
Posición (2,2): $$ 0(2) + 3(1) + 4(0) = 0 + 3 + 0 = 3 $$

M \cdot N = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})

Conclusión: El producto de las dos matrices rectangulares es la matriz cuadrada $$ M \cdot N = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} $$.

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