1.1.6 Propiedades de las operaciones con matrices · Teoría y Ejemplos

1. Leyes Algebraicas de la Suma de Matrices

El conjunto de las matrices de orden $$ m \times n $$ dotado de la operación suma, $$ (\mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R}), +) $$, posee estructura de grupo abeliano, cumpliendo cuatro propiedades fundamentales:

Asociativa: $$ (A + B) + C = A + (B + C) $$
Conmutativa: $$ A + B = B + A $$
Elemento neutro (Matriz Nula $$ O $$): $$ A + O = O + A = A $$
Elemento opuesto ($$ -A $$): $$ A + (-A) = (-A) + A = O $$

📌 Ejemplo Concreto de Elemento Opuesto y Neutro:

Enunciado: Dada la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$, construir su matriz opuesta $$ -A $$ y comprobar que la suma produce la matriz nula de orden 2.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por cambiar el signo de cada elemento para formular la matriz opuesta $$ -A $$. A continuación plantearemos la suma $$ A + (-A) $$ componente a componente. Para terminar resolveremos las sumas aritméticas para comprobar que todas las entradas resultan ser cero.

Paso 1: Construcción de la matriz opuesta

-A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}

Paso 2: Suma directa y simplificación

A + (-A) = \begin{pmatrix} 2 + (-2) & -1 + 1 \\ 3 + (-3) & 4 + (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & 0 \\ 3-3 & 4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_{2 \times 2}

Conclusión: La suma de la matriz con su opuesta cancela todas las entradas, obteniéndose la matriz nula $$ O_{2 \times 2} $$.

2. Propiedades del Producto Matricial y Matriz Identidad

Asociativa: $$ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C $$
Distributiva del producto respecto a la suma: $$ A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C $$ y $$ (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C $$
Elemento neutro del producto (Matriz Identidad $$ I $$): Si $$ A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) $$, entonces $$ I_m \cdot A = A $$ y $$ A \cdot I_n = A $$.

📌 Ejemplo Concreto de la Matriz Identidad:

Enunciado: Comprobar que al multiplicar la matriz cuadrada $$ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} $$ por la matriz identidad $$ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$, la matriz queda idénticamente invariante.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por disponer el producto $$ A \cdot I_2 $$. A continuación aplicaremos la regla de fila por columna multiplicando cada fila de $$ A $$ por las columnas canónicas de $$ I_2 $$. Para terminar resolveremos las sumas elementales para contrastar la coincidencia exacta con $$ A $$.

Paso 1: Desarrollo del producto fila por columna

A \cdot I_2 = \begin{pmatrix} 4(1)+(-1)(0) & 4(0)+(-1)(1) \\ 5(1)+2(0) & 5(0)+2(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+0 & 0-1 \\ 5+0 & 0+2 \end{pmatrix}

Paso 2: Comprobación del resultado

A \cdot I_2 = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = A

Conclusión: Se comprueba de manera rigurosa que $$ A \cdot I_2 = A $$, actuando la matriz identidad como elemento neutro del producto.

⚠️ TRES LEYES DEL ÁLGEBRA REAL QUE FALLAN EN MATRICES (¡ERRORES FRECUENTES!)

El producto no conmuta: En general $$ A \cdot B \neq B \cdot A $$. Por ello, $$ (A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2 $$, sino que $$ (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 $$.
Existencia de divisores de cero: El producto de dos matrices puede ser la matriz nula sin que ninguna de ellas lo sea: $$ A \cdot B = O \not\implies (A = O \text{ o } B = O) $$.
No se puede simplificar: De la igualdad $$ A \cdot B = A \cdot C $$ no se deduce jamás que $$ B = C $$ (salvo que la matriz $$ A $$ admita inversa).

📌 Ejemplo Concreto de Divisores de Cero:

Enunciado: Dadas las matrices no nulas $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \neq O $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \neq O $$, calcular su producto $$ A \cdot B $$ y reflexionar sobre el resultado.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar que ninguna de las matrices de partida es la matriz nula. A continuación aplicaremos la regla de fila por columna para efectuar el producto matricial. Para terminar evaluaremos las sumas resultantes para constatar la existencia de divisores de cero en el álgebra de matrices.

Paso 1: Desarrollo del producto

A \cdot B = \begin{pmatrix} 1(1)+1(-1) & 1(1)+1(-1) \\ 2(1)+2(-1) & 2(1)+2(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 1-1 \\ 2-2 & 2-2 \end{pmatrix}

Paso 2: Evaluación del resultado final

A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O

Conclusión: Se demuestra que $$ A \cdot B = O $$ a pesar de que $$ A \neq O $$ y $$ B \neq O $$. En el álgebra matricial existen divisores de cero.

Ejemplos Prácticos sobre Propiedades Matriciales

Ejemplo 1 · Identidades Notables Matriciales

Demostración del fallo de la fórmula clásica (A+B)² = A² + 2AB + B²

Enunciado: Dadas las matrices cuadradas de orden 2, $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$, calcular $$ (A+B)^2 $$ y compararlo con la expresión errónea $$ A^2 + 2AB + B^2 $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por sumar las matrices y elevar el resultado al cuadrado multiplicándolo por sí mismo. A continuación calcularemos los productos individuales $$ A^2 $$, $$ B^2 $$, $$ AB $$ y $$ BA $$. Para terminar sumaremos todos los términos para evidenciar analíticamente por qué no se puede sustituir $$ AB + BA $$ por $$ 2AB $$.

Paso 1: Cálculo directo de (A+B)²

A + B = \begin{pmatrix} 1+0 & 0+1 \\ 1+1 & 1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+1(2) & 1(1)+1(1) \\ 2(1)+1(2) & 2(1)+1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 & 1+1 \\ 2+2 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}

Paso 2: Cálculo de los productos cruzados AB y BA

AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Comprobamos que $$ AB \neq BA $$.

Paso 3: Verificación de la identidad algebraica exacta

Calculamos los cuadrados:

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Sumamos según la fórmula correcta $$ A^2 + AB + BA + B^2 $$:

A^2 + AB + BA + B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+1+1 & 0+1+1+0 \\ 2+1+1+0 & 1+1+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}

Mientras que aplicando la fórmula falsa con $$ 2AB $$ obtendríamos:

A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}

Conclusión: Queda demostrado que en álgebra matricial $$ (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 $$, y que la fórmula escalar tradicional $$ (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $$ es falsa salvo cuando las matrices conmutan.

Ejemplo 2 · Potencia de Matrices por Inducción Elemental

Cálculo sucesivo del cuadrado y cubo para deducir la fórmula general Aⁿ

Enunciado: Dada la matriz cuadrada $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$, calcular las potencias sucesivas $$ A^2 $$ y $$ A^3 $$, y deducir razonadamente por inducción elemental la expresión de la potencia enésima $$ A^n $$ para todo número natural $$ n \ge 1 $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el cuadrado de la matriz multiplicando $$ A \cdot A $$. A continuación multiplicaremos el resultado obtenido por la matriz original para determinar el cubo $$ A^3 $$. Para terminar observaremos la progresión matemática de los coeficientes para deducir e inducir la fórmula general de $$ A^n $$.

Paso 1: Cálculo del cuadrado A²

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+1(0) & 1(1)+1(1) \\ 0(1)+1(0) & 0(1)+1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 1+1 \\ 0+0 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Paso 2: Cálculo del cubo A³

A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+2(0) & 1(1)+2(1) \\ 0(1)+1(0) & 0(1)+1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 1+2 \\ 0+0 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Paso 3: Deducción formal del patrón inductivo

Analizamos las potencias calculadas:

Para $$ n = 1 $$: $$ A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Para $$ n = 2 $$: $$ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Para $$ n = 3 $$: $$ A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Se observa que los elementos diagonales se mantienen constantes en 1, el elemento inferior izquierdo permanece en 0, y el elemento superior derecho coincide exactamente con el exponente de la potencia $$ n $$.

Conclusión: La fórmula general de la potencia enésima de la matriz $$ A $$ es $$ A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ para todo $$ n \in \mathbb{N} $$.

Ejemplo 3 · Traspuesta de Combinaciones Matriciales

Comprobación de (2A + Bᵗ)ᵗ = 2Aᵗ + B

Enunciado: Dadas las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} $$ y $$ B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} $$, calcular analíticamente la expresión $$ (2A + B^t)^t $$ y comprobar que equivale a $$ 2A^t + B $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la operación dentro del paréntesis escalando $$ A $$ por 2 y sumándole la traspuesta de $$ B $$. A continuación traspondremos la matriz obtenida para calcular el término de la izquierda. Para terminar calcularemos de forma separada $$ 2A^t + B $$ para verificar formalmente su coincidencia.

Paso 1: Cálculo del interior del paréntesis y su trasposición

2A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}, \quad B^t = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}

2A + B^t = \begin{pmatrix} 2+4 & 6+(-1) \\ 4+1 & 0+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}

(2A + B^t)^t = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}

Paso 2: Cálculo por aplicación directa de propiedades tras puestas

Aplicamos las propiedades $$ (X + Y)^t = X^t + Y^t $$, $$ (kX)^t = kX^t $$ y $$ (B^t)^t = B $$:

2A^t + B = 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+4 & 4+1 \\ 6-1 & 0+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}

Conclusión: Ambas rutas algebraicas arrojan de forma idéntica la matriz $$ \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} $$, ratificando las leyes de trasposición.

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