1.1.7 Tipos de matrices · Teoría y Ejemplos

1. Clasificación según la Dimensión de la Matriz

Atendiendo a la relación entre su número de filas y de columnas, distinguimos:

Matriz Fila: Consta de una única fila horizontal ($$ 1 \times n $$). Pertenece a $$ \mathcal{M}_{1 \times n}(\mathbb{R}) $$.
Matriz Columna: Consta de una única columna vertical ($$ m \times 1 $$). Pertenece a $$ \mathcal{M}_{m \times 1}(\mathbb{R}) $$.
Matriz Rectangular: El número de filas no coincide con el de columnas ($$ m \neq n $$).
Matriz Cuadrada: Tiene exactamente el mismo número de filas que de columnas ($$ m = n $$). Pertenece a $$ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $$.

📌 Ejemplo Concreto de Tipos Dimensionales:

Enunciado: Clasificar dimensionalmente las matrices $$ F = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \end{pmatrix} $$ y $$ C = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por contar el número de filas y columnas de cada matriz. A continuación compararemos las cantidades obtenidas con las definiciones canónicas de matriz fila y matriz columna. Para terminar asignaremos la categoría dimensional correspondiente a cada una.

Paso 1: Análisis dimensional de F y C

Matriz $$ F $$: Consta de 1 fila y 3 columnas → Dimensión $$ 1 \times 3 $$.
Matriz $$ C $$: Consta de 3 filas y 1 columna → Dimensión $$ 3 \times 1 $$.

Paso 2: Dictamen de clasificación

Dado que $$ F $$ tiene una única fila, se trata de una matriz fila o vector fila. Dado que $$ C $$ consta de una única columna, se trata de una matriz columna o vector columna.

Conclusión: La matriz $$ F $$ es una matriz fila de orden $$ 1 \times 3 $$ y la matriz $$ C $$ es una matriz columna de orden $$ 3 \times 1 $$.

2. Clasificación según sus Elementos

Matriz Nula ($$ O $$): Todos sus elementos son iguales a cero ($$ a_{ij} = 0 \; \forall i, j $$).
Matriz Diagonal: Matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos ($$ a_{ij} = 0 \; \forall i \neq j $$).
Matriz Escalar: Matriz diagonal donde todos los valores de la diagonal principal son iguales entre sí ($$ a_{ii} = k $$).
Matriz Identidad ($$ I_n $$): Matriz escalar cuyos elementos diagonales son todos iguales a 1.
Matriz Triangular Superior: Matriz cuadrada con ceros estrictos por debajo de la diagonal principal ($$ a_{ij} = 0 \; \forall i > j $$).
Matriz Triangular Inferior: Matriz cuadrada con ceros estrictos por encima de la diagonal principal ($$ a_{ij} = 0 \; \forall i < j $$).

📌 Ejemplo Concreto de Matrices por sus Elementos:

Enunciado: Clasificar según el valor de sus elementos las matrices cuadradas: $$ D = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} $$ y $$ T_s = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 0 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la ubicación de los ceros respecto a la diagonal principal de cada matriz. A continuación contrastaremos la distribución de elementos no nulos con las definiciones de matriz diagonal y triangular. Para terminar emitiremos el dictamen de clasificación formal.

Paso 1: Examen de la matriz D

Todos los elementos fuera de la diagonal principal son estrictamente iguales a cero ($$ d_{ij} = 0 $$ para todo $$ i \neq j $$). Por tanto, $$ D $$ es una matriz diagonal.

Paso 2: Examen de la matriz Ts

Las entradas situadas por debajo de la diagonal principal son ceros ($$ a_{21} = 0 $$, $$ a_{31} = 0 $$, $$ a_{32} = 0 $$). Por tanto, $$ T_s $$ es una matriz triangular superior.

Conclusión: La matriz $$ D $$ es una matriz diagonal de orden 3 y la matriz $$ T_s $$ es una matriz triangular superior de orden 3.

3. Clasificación según sus Propiedades Algebraicas

Matriz Simétrica: Coincide con su matriz traspuesta: $A^t = A \iff a_{ij} = a_{ji} \quad (\forall i, j)$
Matriz Antisimétrica: Su traspuesta es igual a su opuesta: $A^t = -A \iff a_{ij} = -a_{ji} \quad (\forall i, j)$
En toda matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son obligatoriamente cero ($$ a_{ii} = 0 $$).
Matriz Idempotente: Su cuadrado reproduce la misma matriz: $$ A^2 = A $$.
Matriz Involutiva: Su cuadrado es igual a la matriz identidad: $$ A^2 = I_n \iff A^{-1} = A $$.
Matriz Ortogonal: Su traspuesta coincide con su inversa: $$ A \cdot A^t = A^t \cdot A = I_n \iff A^{-1} = A^t $$.

📌 Ejemplo Concreto de Matriz Simétrica y Antisimétrica:

Enunciado: Comprobar algebraicamente que la matriz $$ S = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} $$ es simétrica y que la matriz $$ AS = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} $$ es antisimétrica.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la matriz traspuesta de $$ S $$ y compararla con su forma original. A continuación calcularemos la traspuesta y la opuesta de $$ AS $$. Para terminar verificaremos si se cumplen las igualdades canónicas $$ S^t = S $$ y $$ AS^t = -AS $$.

Paso 1: Verificación de simetría sobre S

S^t = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} = S \implies S \text{ es simétrica.}

Paso 2: Verificación de antisimetría sobre AS

AS^t = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}, \quad -AS = -\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}

AS^t = -AS \implies AS \text{ es antisimétrica.}

Conclusión: Queda demostrado formalmente que $$ S $$ es una matriz simétrica y $$ AS $$ es una matriz antisimétrica.

Ejemplos Prácticos de Clasificación Matricial

Ejemplo 1 · Matriz Cuadrada de Orden 3 × 3

Comprobación rigurosa de una matriz antisimétrica

Enunciado: Determinar razonadamente si la matriz cuadrada $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -5 \\ -3 & 0 & 2 \\ 5 & -2 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $$ es una matriz antisimétrica.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar la condición necesaria de que todos los coeficientes de la diagonal principal sean estrictamente nulos. A continuación calcularemos la matriz traspuesta $$ A^t $$ reorientando filas en columnas. Para terminar calcularemos la matriz opuesta $$ -A $$ y compararemos elemento a elemento para ratificar la igualdad $$ A^t = -A $$.

Paso 1: Verificación de la diagonal principal

Comprobamos los elementos de la diagonal principal:

a_{11} = 0, \quad a_{22} = 0, \quad a_{33} = 0

Se satisface la condición necesaria obligatoria para toda matriz antisimétrica.

Paso 2: Cálculo de la matriz traspuesta

A^t = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 5 \\ 3 & 0 & -2 \\ -5 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Paso 3: Cálculo de la opuesta y comparación formal

-A = (-1) \begin{pmatrix} 0 & 3 & -5 \\ -3 & 0 & 2 \\ 5 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 5 \\ 3 & 0 & -2 \\ -5 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Al contrastar ambas matrices:

A^t = -A \iff a_{ij} = -a_{ji} \quad (\forall i, j)

Conclusión: La matriz $$ A $$ cumple escrupulosamente la definición algebraica, por lo que es una matriz antisimétrica de orden 3.

Ejemplo 2 · Matriz Cuadrada de Orden 2 × 2

Comprobación analítica de una matriz idempotente

Enunciado: Demostrar analíticamente que la matriz cuadrada $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$ es idempotente.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la definición de matriz idempotente que exige la condición $$ A^2 = A $$. A continuación multiplicaremos la matriz $$ A $$ por sí misma aplicando la regla de fila por columna con desglose aritmético completo. Para terminar contrastaremos el resultado final con la matriz de partida.

Paso 1: Planteamiento del producto A² = A · A

A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(2) + (-1)(2) & 2(-1) + (-1)(-1) \\ 2(2) + (-1)(2) & 2(-1) + (-1)(-1) \end{pmatrix}

Paso 2: Resolución aritmética celda a celda

Posición (1,1): $$ 2(2) + (-1)(2) = 4 - 2 = 2 $$
Posición (1,2): $$ 2(-1) + (-1)(-1) = -2 + 1 = -1 $$
Posición (2,1): $$ 2(2) + (-1)(2) = 4 - 2 = 2 $$
Posición (2,2): $$ 2(-1) + (-1)(-1) = -2 + 1 = -1 $$

A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}

Paso 3: Verificación de la condición de idempotencia

A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = A

Conclusión: Al cumplirse con total exactitud que $$ A^2 = A $$, queda demostrado que la matriz $$ A $$ es idempotente.

Ejemplo 3 · Descomposición Canónica de Matrices Cuadradas

Descomposición única de una matriz en suma de una simétrica y una antisimétrica

Enunciado: Descomponer la matriz cuadrada $$ M = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} $$ en la suma canónica de una matriz simétrica $$ S $$ y una matriz antisimétrica $$ AS $$, tales que $$ M = S + AS $$.

Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la matriz traspuesta $$ M^t $$. A continuación utilizaremos la fórmula canónica de la parte simétrica $$ S = \frac{1}{2}(M + M^t) $$ y de la parte antisimétrica $$ AS = \frac{1}{2}(M - M^t) $$. Para terminar sumaremos ambas componentes obtenidas para corroborar que reproducen exactamente la matriz original $$ M $$.

Paso 1: Obtención de la matriz traspuesta Mᵗ

M^t = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}

Paso 2: Cálculo de la componente simétrica S

S = \frac{1}{2} (M + M^t) = \frac{1}{2} \left[ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \right] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3+3 & 4+2 \\ 2+4 & 5+5 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}

Comprobamos que $$ S^t = S $$ (es estrictamente simétrica).

Paso 3: Cálculo de la componente antisimétrica AS y comprobación final

AS = \frac{1}{2} (M - M^t) = \frac{1}{2} \left[ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \right] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3-3 & 4-2 \\ 2-4 & 5-5 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Comprobamos que $$ AS^t = -AS $$ y su diagonal es nula (es estrictamente antisimétrica).

Sumamos ambas componentes:

S + AS = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+0 & 3+1 \\ 3+(-1) & 5+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = M

Conclusión: La descomposición única solicitada es $$ S = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} $$ y $$ AS = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$, verificando de forma exacta que $$ M = S + AS $$.

← Sección anterior ☰ Índice del Temario ☰ Índice del Temario