1.2.2 Aplicación de las propiedades de los determinantes para el cálculo de determinantes · Teoría y Ejemplos

1. El Método del Pivote para Hacer Ceros

Calcular determinantes de orden $n \ge 3$ mediante la definición o fórmulas expandidas conlleva un número prohibitivo de operaciones. La técnica estándar en 2º de Bachillerato consiste en hacer ceros en una fila o columna mediante operaciones elementales antes de desarrollar.

Gracias a la propiedad fundamental:

F_i \leftarrow F_i + k \cdot F_j \implies |A'| = |A|

El valor del determinante permanece completamente inalterado cuando sustituimos una fila por ella misma más un múltiplo de otra fila paralela (e idénticamente con columnas).

🎯 Algoritmo de resolución paso a paso

Elegir un pivote: Buscar un elemento que valga $1$ o $-1$. Si no existe, podemos dividir una fila sacando un factor común fuera del determinante, o bien restar dos filas para generarlo.
Eliminar los demás elementos: Aplicar combinaciones lineales a las restantes filas o columnas para anular todos los elementos de la línea del pivote.
Desarrollar por Laplace: Desarrollar el determinante por la línea que contiene los ceros, reduciendo de inmediato el orden del determinante en una unidad.

📌 Ejemplo Concreto de Triangulación mediante Operaciones Elementales:

Consideremos el determinante de orden 3:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}

1) Tomando como pivote $a_{11} = 1$, hacemos ceros bajo él en la primera columna mediante $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ y $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}

2) Tomando como segundo pivote $a_{22} = 1$, hacemos cero bajo él en la posición $(3,2)$ sumando $F_3 \leftarrow F_3 + F_2$:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}

Al quedar una matriz triangular superior, por la propiedad de las matrices triangulares su determinante es el producto de su diagonal principal:

|A| = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2

2. Factor Común en una Línea

Si todos los elementos de una fila o columna tienen un factor común $k$, se puede extraer dicho factor fuera del determinante multiplicando al resultado:

\begin{vmatrix} k a & k b & k c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = k \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}

⚠️ Regla de Oro: Evitar multiplicar la fila destino

Si realizas la operación $F_2 \leftarrow 3F_2 - 2F_1$, ¡el determinante resultante queda multiplicado por $3$! Para mantener la igualdad estricta debes compensarlo dividiendo entre $3$:

|A| = \frac{1}{3} \cdot |A'|

Por eso, se recomienda siempre mantener el coeficiente $1$ en la fila que se modifica: $F_2 \leftarrow F_2 - \frac{2}{3}F_1$.

📌 Ejemplo Concreto de Extracción de Factor Común:

Consideremos el determinante en el que la primera fila es múltiplo de 5 y la segunda es múltiplo de 3:

|B| = \begin{vmatrix} 10 & 15 \\ 6 & 9 \end{vmatrix}

Extrayendo $5$ de la primera fila ($F_1 = 5 \cdot (2, 3)$) y $3$ de la segunda ($F_2 = 3 \cdot (2, 3)$):

|B| = 5 \cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 15 \cdot 0 = 0

El determinante se anula de inmediato al comprobar que las dos filas resultantes son idénticas.

Ejemplo 1 · Matriz de Orden 3 × 3

Cálculo haciendo ceros en la primera columna

Calcular el determinante de la matriz $A$ haciendo ceros con el pivote $a_{11} = 1$:

A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}

Paso 1: Hacer ceros bajo el pivote de la primera columna

Hacemos $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ y $F_3 \leftarrow F_3 - 3F_1$:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 - 2(3) & 4 - 2(-2) \\ 0 & -1 - 3(3) & 2 - 3(-2) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & -5 & 8 \\ 0 & -10 & 8 \end{vmatrix}

Paso 2: Triangular completamente la matriz

Hacemos cero en la posición $(3,2)$ restando dos veces la segunda fila: $F_3 \leftarrow F_3 - 2F_2$:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & -5 & 8 \\ 0 & 0 & -8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-5) \cdot (-8) = 40

El determinante de una matriz triangular es directamente el producto de su diagonal principal.

Ejemplo 2 · Matriz de Orden 4 × 4

Reducción de orden 4 a orden 3 con ceros previos

Calcular el determinante de orden 4:

B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}

Paso 1: Operaciones sobre la tercera columna

La columna 3 ya tiene ceros en la fila 1 y fila 4. Usamos el $1$ de la posición $(2,3)$ para eliminar el $2$ de la posición $(3,3)$ mediante $F_3 \leftarrow F_3 - 2F_2$:

|B| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 1 \\ -4 & -9 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}

Paso 2: Desarrollo por la columna 3 y resolución del orden 3

Desarrollamos por la columna 3 (el elemento $a_{23}=1$ tiene signo $(-1)^{2+3} = -1$):

|B| = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -4 & -9 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}

Haciendo $F_2 \leftarrow F_2 + 4F_1$ y $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$:

|B| = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 14 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot [(-1)(-1) - (14)(1)] = (-1) \cdot (-13) = 13

Ejemplo 3 · Determinante con Parámetro

Cálculo y factorización algebraica con sumas de columnas

Calcular y expresar como producto de factores el determinante:

D = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}

Paso 1: Sumar todas las columnas a la primera y sacar factor común

Hacemos $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$:

|D| = \begin{vmatrix} a+2 & 1 & 1 \\ a+2 & a & 1 \\ a+2 & 1 & a \end{vmatrix} = (a+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}

Paso 2: Triangulación con ceros en la primera columna

Hacemos $F_2 \leftarrow F_2 - F_1$ y $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$:

|D| = (a+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix} = (a+2)(a-1)^2

Resultado completamente factorizado: $|D| = (a+2)(a-1)^2$.

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