1. Determinante de una Matriz 2 × 2
Para una matriz cuadrada de segundo orden, el determinante es la resta del producto de la diagonal principal y el producto de la diagonal secundaria:
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$$
📌 Ejemplo Concreto de Determinante 2 × 2:
Consideremos la matriz cuadrada de orden 2 con coeficientes enteros:
$$M = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
Multiplicamos la diagonal principal y restamos el producto de la diagonal secundaria:
$$|M| = 5 \cdot 4 - (-2) \cdot 3 = 20 - (-6) = 20 + 6 = 26$$
2. Determinante de una Matriz 3 × 3: Regla de Sarrus
La Regla de Sarrus es un método gráfico y directo para calcular determinantes de orden 3. El resultado consta de 6 sumandos (tres positivos y tres negativos):
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})$$
💡 Mnemotecnia de Sarrus
Términos con signo (+): La diagonal principal y los dos triángulos con base paralela a ella y vértice opuesto.
Términos con signo (-): La diagonal secundaria y los dos triángulos con base paralela a ella y vértice opuesto.
⚠️ Limitación estricta de Sarrus
La regla de Sarrus es exclusiva para determinantes de orden 3. No intentes aplicarla bajo ningún concepto a determinantes de orden 4 o superior, ya que un determinante de orden 4 tiene $4! = 24$ términos y no 8.
📌 Ejemplo Concreto de la Regla de Sarrus:
Consideremos el determinante de orden 3:
$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}$$
Calculamos la suma de los tres productos con signo positivo:
$$(1)(3)(4) + (0)(1)(2) + (2)(-1)(1) = 12 + 0 - 2 = 10$$
Calculamos la suma de los tres productos con signo negativo:
$$(2)(3)(2) + (1)(1)(1) + (0)(-1)(4) = 12 + 1 + 0 = 13$$
Restando ambos resultados obtenemos:
$$|A| = 10 - 13 = -3$$
Ejemplo 1 · Orden 2 × 2
Cálculo directo de determinante 2 × 2 con signos negativos
Calcular el determinante de la matriz:
$$A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$$
Paso único: Diagonal principal menos diagonal secundaria
$$|A| = 4 \cdot 5 - (-3) \cdot 2 = 20 - (-6) = 20 + 6 = 26$$
Ejemplo 2 · Orden 3 × 3
Aplicación sistemática de la Regla de Sarrus
Calcular el determinante de la matriz:
$$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 4 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$
Paso 1: Suma de los productos positivos
$$(2)(4)(1) + (1)(0)(5) + (3)(-1)(-2) = 8 + 0 + 6 = 14$$
Paso 2: Suma de los productos negativos
$$(3)(4)(5) + (2)(0)(-2) + (1)(-1)(1) = 60 + 0 - 1 = 59$$
Paso 3: Resta de ambos bloques
$$|B| = 14 - 59 = -45$$
Ejemplo 3 · Parámetro x
Resolución de ecuación polinómica mediante Sarrus
Determina los valores reales de $x$ para los que se anula el determinante de:
$$C = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & x & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$
Paso 1: Desarrollo por Sarrus
$$|C| = [x \cdot x \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + 0 \cdot 0 \cdot (-1)] - [0 \cdot x \cdot 3 + x \cdot 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot 1]$$
$$|C| = (x^2 + 6) - (-2x) = x^2 + 2x + 6$$
Paso 2: Análisis de raíces reales
Igualamos a cero: $x^2 + 2x + 6 = 0$. Su discriminante es $\Delta = 2^2 - 4(1)(6) = 4 - 24 = -20 < 0$.
Conclusión: No existe ningún valor de $x \in \mathbb{R}$ que anule el determinante; la matriz es invertible para todo número real.