📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.6.1 Regla de Cramer

Resolución analítica de sistemas de ecuaciones lineales cuadrados compatibles determinados mediante la Regla de Cramer y determinantes.

1. Definición de Sistema de Cramer

Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Cramer si cumple:

Es un sistema cuadrado: el número de ecuaciones $m$ coincide con el número de incógnitas $n$ ($m = n$).
La matriz de coeficientes $A$ es regular: $|A| \neq 0$.

x_i = \frac{|A_i|}{|A|}

📌 Ejemplo Concreto de la Regla de Cramer:

Consideremos el sistema cuadrado $2 \times 2$:

\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}

1. Determinante de coeficientes: $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0$ (es de Cramer).

2. Determinantes asociados a cada incógnita y cálculo de soluciones:

|A_x| = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -5 - 1 = -6 \implies x = \frac{-6}{-2} = 3

|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 5 = -4 \implies y = \frac{-4}{-2} = 2

La solución única del sistema es $(x, y) = (3, 2)$.

Ejemplo 1: Sistema de Orden 2x2

Resolver $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - y = 3 \end{cases}$ por Cramer:

Paso 1: Determinante principal

$$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 15 = -17 \neq 0$$

Paso 2: Determinantes de incógnitas

$$|A_x| = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -8 - 9 = -17 \implies x = \frac{-17}{-17} = 1$$

$$|A_y| = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 40 = -34 \implies y = \frac{-34}{-17} = 2$$

Conclusión: Solución única: $\mathbf{x = 1, y = 2}$.