1.6.2 Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Expresión matricial A·X = B, vector de incógnitas, términos independientes y resolución mediante la matriz inversa.
1. Notación y Estructura Matricial
Todo sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en la forma matricial canónica:
Si $|A| \neq 0$, la solución se halla multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda:
Dado el sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
Se descompone en matriz de coeficientes $A$, vector columna de incógnitas $X$ y vector de términos independientes $B$:
Esta representación compacta permite resolver el sistema completo despejando el vector $X = A^{-1} \cdot B$.
2. Ejemplos Prácticos Resueltos
Escribir matricialmente y resolver $\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 2x + y = 5 \end{cases}$:
$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}$$
$$|A| = 3 - 2 = 1 \implies A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$
$$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \implies x = 2, \quad y = 1$$