1.6.3 Teorema del rango o de Rouché-Frobenius
Enunciado riguroso del Teorema de Rouché-Frobenius, comparación de rangos entre la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.
1. Enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius
Un sistema de ecuaciones lineales $AX = B$ con $n$ incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes $A$ es igual al rango de la matriz ampliada $(A|B)$:
- Compatible Determinado (SCD): $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n$ (Solución única).
- Compatible Indeterminado (SCI): $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = r < n$ (Infinitas soluciones con $n - r$ grados de libertad).
- Incompatible (SI): $\text{rg}(A) < \text{rg}(A|B)$ (No existe solución).
Consideremos los siguientes tres casos en sistemas escalonados con $n = 2$ incógnitas ($x, y$):
1. Caso SCD: $\begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 3 \\ 0 & 2 & \mid & 4 \end{pmatrix} \implies \text{rg}(A) = 2 = \text{rg}(A|B) = n \implies$ Solución única $(x,y)=(1,2)$.
2. Caso SCI: $\begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 3 \\ 0 & 0 & \mid & 0 \end{pmatrix} \implies \text{rg}(A) = 1 = \text{rg}(A|B) < n \implies$ Infinitas soluciones paramétricas.
3. Caso SI: $\begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 3 \\ 0 & 0 & \mid & 5 \end{pmatrix} \implies \text{rg}(A) = 1 < \text{rg}(A|B) = 2 \implies$ Sistema incompatible sin solución.