📘 2º Bachillerato · Matemáticas II
1.6.6 Sistemas incompatibles
Estudio y detección de sistemas incompatibles sin solución, contradicciones algebraicas (0 = k) e interpretación geométrica.
1. Detección de Sistemas Incompatibles (SI)
Ocurre cuando $\text{rg}(A) < \text{rg}(A|B)$. Al aplicar el método de eliminación de Gauss surge una fila del tipo $(0, 0, \dots, 0 \mid k)$ con $k \neq 0$, lo que equivale a la contradicción $0 = k$.
📌 Ejemplo Concreto de Detección de Sistema Incompatible (SI):
Consideremos el sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
$$\begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 5 \end{cases}$$
Restando la primera ecuación a la segunda ($F_2 \leftarrow F_2 - F_1$):
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & \mid & 3 \end{pmatrix} \implies 0 \cdot x + 0 \cdot y = 3 \iff 0 = 3 \quad (\text{Absurdo})$$
Como $\text{rg}(A) = 1 < \text{rg}(A|B) = 2$, el sistema es estrictamente incompatible y carece de solución.