📘 2º Bachillerato · Matemáticas II
1.6.5 Sistemas compatibles indeterminados
Estudio de sistemas compatibles indeterminados (SCI) con infinitas soluciones, parámetros libres y grados de libertad.
1. Solución General y Paramétrica en un SCI
Cuando $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = r < n$, el sistema admite infinitas soluciones. El número de parámetros libres es $k = n - r$.
📌 Ejemplo Concreto de Sistema Compatible Indeterminado (SCI):
Consideremos la ecuación lineal con 2 incógnitas ($n = 2$):
$$x + 2y = 4$$
Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 1 < 2$, existe $n - r = 2 - 1 = 1$ grado de libertad. Tomando $y = \lambda \in \mathbb{R}$ como parámetro libre:
$$\begin{cases} x = 4 - 2\lambda \\ y = \lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R}$$
El conjunto solución describe algebraicamente una recta de infinitos puntos en el plano afín.