2.2.1 Producto escalar
Definición geométrica y analítica del producto escalar en el espacio tridimensional, interpretación geométrica y cálculo mediante componentes.
1. Concepto y Definición Geométrica
En el espacio afín euclídeo $\mathbb{R}^3$, el producto escalar (también llamado producto punto o producto interno estándar) de dos vectores libres $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es una operación que asocia a dicho par de vectores un número real (escalar):
donde $|\vec{u}|$ y $|\vec{v}|$ son los módulos de los vectores y $\alpha \in [0, \pi]$ es el menor ángulo formado entre ellos.
Consideremos dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con módulos $|\vec{u}| = 5$, $|\vec{v}| = 6$ que forman un ángulo $\alpha = 45^\circ$:
El producto escalar es un número real positivo, indicando que el ángulo comprendido es agudo.
2. Expresión Analítica Ortonormal
Respecto a la base canónica ortonormal $\mathcal{B} = \{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, dados $\vec{u}=(u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v}=(v_1, v_2, v_3)$:
- $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0 \iff \alpha < 90^\circ$ (Ángulo agudo).
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \alpha = 90^\circ$ o bien alguno de los vectores es nulo (Vectores ortogonales).
- $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0 \iff \alpha > 90^\circ$ (Ángulo obtuso).
Dados los vectores $\vec{u} = (3, -1, 2)$ y $\vec{v} = (-2, 4, 5)$, multiplicamos sus componentes homólogas:
Al ser el producto escalar exactamente $0$, concluimos con certeza que ambos vectores son perpendiculares (ortogonales) en el espacio.
3. Ejemplos Prácticos Resueltos
Enunciado: Dados $\vec{u} = (2, -1, 4)$ y $\vec{v} = (3, 5, -2)$, calcula $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(3) + (-1)(5) + 4(-2) = 6 - 5 - 8 = -7$$
Conclusión: El producto escalar es $-7$. Al ser negativo, ambos vectores forman un ángulo obtuso.
Enunciado: Si $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 4$ y forman un ángulo de $60^\circ$, halla su producto escalar.
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$
Enunciado: Determinar si $\vec{u}=(1, 3, -2)$ y $\vec{v}=(4, 2, 5)$ son perpendiculares.
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1(4) + 3(2) + (-2)(5) = 4 + 6 - 10 = 0$$
Conclusión: Al anularse el producto escalar con vectores no nulos, son ortogonales.