📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.2.3 Módulo de un vector

Definición del módulo o longitud de un vector en R3 mediante la raíz del producto escalar consigo mismo y distancia euclídea.

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1. Definición Formal de Módulo

El módulo o norma euclídea de un vector libre $\vec{u}$ representa geométricamente su longitud o tamaño. Se define formalmente como la raíz cuadrada positiva de su producto escalar consigo mismo:

Definición de Módulo

|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}

📌 Ejemplo Concreto de Módulo de un Vector:

Calculemos la longitud exacta del vector $\vec{u} = (1, -4, 8)$ en $\mathbb{R}^3$:

|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9

Por tanto, el vector $\vec{u}$ tiene una longitud exacta de 9 unidades.

2. Distancia Euclídea entre Dos Puntos

La distancia euclídea entre dos puntos $A(x_1, y_1, z_1)$ y $B(x_2, y_2, z_2)$ es el módulo del vector $\vec{AB}$:

d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

📌 Ejemplo Concreto de Distancia entre Dos Puntos:

Calculemos la distancia entre los puntos $A(3, 1, -2)$ y $B(7, -1, 0)$:

d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(7 - 3)^2 + (-1 - 1)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 2^2}

d(A, B) = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \approx 4.899 \text{ unidades}

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Módulo Exacto Entero

Enunciado: Calcula el módulo del vector $\vec{u} = (2, -3, 6)$.

Paso 1: Suma de cuadrados

$$|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$$

Ejemplo 2: Módulo con Radicales

Enunciado: Calcula el módulo de $\vec{v} = (1, \sqrt{2}, -1)$.

Paso 1: Evaluación

$$|\vec{v}| = \sqrt{1 + 2 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Ejemplo 3: Distancia entre Puntos

Enunciado: Calcula la distancia entre $A(1, 0, 2)$ y $B(4, 4, 14)$.

Paso 1: Vector $\vec{AB}$

$$\vec{AB} = (3, 4, 12)$$

Paso 2: Módulo

$$d(A, B) = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

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