📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.2.4 Vector unitario y cosenos directores

Normalización de vectores para obtener vectores unitarios, ángulos directores con los ejes coordenados y relación fundamental de los cosenos directores.

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1. Normalización y Vector Unitario

Un vector $\vec{u}$ es unitario si su norma es igual a la unidad: $|\vec{u}| = 1$.

Dado cualquier vector no nulo $\vec{v} \neq \vec{0}$, el vector unitario con su misma dirección y sentido se obtiene mediante normalización:

\vec{u}_v = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left( \frac{v_1}{|\vec{v}|}, \; \frac{v_2}{|\vec{v}|}, \; \frac{v_3}{|\vec{v}|} \right)

📌 Ejemplo Concreto de Vector Unitario:

Dado el vector $\vec{v} = (2, -2, 1)$, su módulo es $|\vec{v}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

El vector unitario en su misma dirección y sentido es:

\vec{u}_v = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left( \frac{2}{3}, \; -\frac{2}{3}, \; \frac{1}{3} \right)

Verificación: $|\vec{u}_v| = \sqrt{(2/3)^2 + (-2/3)^2 + (1/3)^2} = \sqrt{4/9 + 4/9 + 1/9} = 1$.

2. Cosenos Directores

Sean $\alpha, \beta, \gamma$ los ángulos que el vector $\vec{v}$ forma con los semiejes positivos $OX$, $OY$ y $OZ$. Sus cosenos directores coinciden exactamente con las coordenadas del vector unitario:

\cos(\alpha) = \frac{v_1}{|\vec{v}|}, \quad \cos(\beta) = \frac{v_2}{|\vec{v}|}, \quad \cos(\gamma) = \frac{v_3}{|\vec{v}|}

Relación Fundamental

\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1

📌 Ejemplo Concreto de Cosenos Directores:

Para el vector anterior $\vec{v} = (2, -2, 1)$, sus cosenos directores son:

\cos(\alpha) = \frac{2}{3}, \quad \cos(\beta) = -\frac{2}{3}, \quad \cos(\gamma) = \frac{1}{3}

Comprobamos la relación fundamental:

\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = 1

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Normalización Directa

Enunciado: Halla el vector unitario con la misma dirección y sentido que $\vec{v}=(3, 0, 4)$.

Paso 1: Módulo

$$|\vec{v}| = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5$$

Paso 2: División escalar

$$\vec{u}_v = \left(\frac{3}{5}, \; 0, \; \frac{4}{5}\right)$$

Ejemplo 2: Cosenos Directores de un Vector

Enunciado: Halla los cosenos directores de $\vec{v}=(1, 2, 2)$.

Paso 1: Cálculo

$$|\vec{v}|=3 \implies \cos(\alpha)=\frac{1}{3}, \; \cos(\beta)=\frac{2}{3}, \; \cos(\gamma)=\frac{2}{3}$$

Ejemplo 3: Deducción de Ángulo Director

Enunciado: Un vector forma $\alpha=60^\circ$ y $\beta=60^\circ$. Halla el ángulo agudo $\gamma$ con el eje $OZ$.

Paso 1: Aplicar relación fundamental

$$\cos^2(60^\circ) + \cos^2(60^\circ) + \cos^2(\gamma) = 1 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2(\gamma) = 1 \implies \cos^2(\gamma) = \frac{1}{2}$$

$$\cos(\gamma) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \gamma = 45^\circ$$

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